4.28总结

总结

• 今天做题其实还是挺有感觉的。。但是思维没有开阔起来。

过程

• 先看了一下题目，第一题把他的式子随便化了一下，又看到A是01矩阵，就知道是道网络流裸题了。。第二题一开始想没有什么好的思路。第三题又是SAM的裸题。第四题看着那个条件感觉很眼熟，好像就是线性无关。刚好冬令营的时候讲过他的贪心。所以大致确定了1，3，4的做题顺序。
• 第一题还是比较好打的。但是一开始打了dinic，比较慢，后来换成了sap,打完差不多9点钟。
• 接下来打第三题，SAM还是不太熟悉。对fail指针的意义以及其Dp的顺序掌握不好。推了一下以为可以了。然后拍也是Ok的。
• 第四题，一开始都忘记高斯消元怎么打了。一直在改高斯消元。而且对于线性无关的判定很不熟悉。导致我根本无法把70分的算法改进到100分。而且拍完第四题之后都已经差不多10点半了。
• 最后去搞第二题。丝毫没有思路。自己YY了一个贪心。想不到怎么把题目模型抽象出来。

最后220。。第三题挂掉了。第二题只有十分。

第三题的错误在于，

• SAM Dp之前，应当把节点按其len进行排序，不能进行拓扑排序，因为fail的拓扑序不一定在其前面。

第二题的做法！！！

• Description

  • 给你一副$N * M$的网格图。

    上面的每个点都有宝藏数$A_{i},A_{i}\geq0$

    你每次都从左上角出发，并且只能往右边和下边走。
    走到一个点，你只能捡起一个单位的宝藏。

    问你至少要走多少次，才能将所有的宝藏捡完。
    $N\leq1000,M\leq1000$

• 我们可以注意到的是，

  • 若对于两个位置$(i,j)$,$(x,y)$,满足$i\leq x,j \geq y$,那么我们永远都不可能用一条路径把他们两个都覆盖了。

    我们找出宝藏总数最大的一个点对序列$(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2})......(i_{k},j_{k})$,其中$i_{x} \leq i_{x+1},j_{x} \geq j_{x+1}$

    设其宝藏总数为$y$
    那么我们最终的答案就是$y$

    这个为什么是正确的呢？？

    因为我们要覆盖这$k$个点，至少需要$k$条路径，且因为我们计出来的是宝藏总数最大的。也就是说约束最紧的点。

    设最终的答案为$Ans$

    那么显然的是，$Ans \geq y$

    接下来我们证明$Ans \leq y$

    设一个点$P(x,y)$,且P不在这个序列当中。

    那么P有两种情况

    1. 
       P可以被一条经过点i,其中i属于我们点序列，的路径穿过。那么因为i的宝藏数比P的大(不然i就不会被选入序列中了),所以P肯定能被取完。
    2. 
       P不能被一条经过点i,其中i属于我们点序列，的路径穿过。那么P显然会被选入我们的序列。与P不在点序中矛盾。
  • $\therefore$ $Ans \geq y ,Ans \leq y$ $\rightarrow$ $Ans = y$

总结

1. SAM还是掌握的不好。对于一些自己之前比较在行但很久没有打过的东西容易忘记。。所以还是要经常复习。
2. 考试的时候脑洞没有打开。思维还是不行。
3. 算法的实现做不到简洁。这样子其实容易使得自己无法对算法进行进一步的优化。拿到更多的算法。