初等行变换求逆矩阵

设要求出$n$阶矩阵$A$的逆矩阵$B$。

对于一个矩阵的初等行变换，有三种：
1. 交换两行。
2. 将某一行的所有元素乘以一个非零实数$k$。
3. 将某一行$j$，加上某一行$i(i \not = j$)乘以一个非零实数$k$，即$A_j = A_j + A_i * k$。

可以发现的是，每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵，事实上称其为初等矩阵。

那么，当我们不停地对$A$进行初等变换，并且用另外一个矩阵$C$不停地乘上这种变换对应的初等矩阵，那么当$A$变为$I(单位矩阵)$时，$C$就是$A$的逆矩阵了。
怎么样将$A$变为$I$？我们类似于高斯消元一样，一行一行一列一列地扫过去。由于最终要保证$A_{i,i} = 1$，其他为$0$。
设当前扫到第$i$行，那么对于$A_{i,1\sim i - 1} = 0$。但是对于$j < i，A_{j,i}$可能不等于0。但我们初等变换中可以先对第$i$行除以$A_{i,i}$，即保证$A_{i,i} = 1$，接着用$i$整行去消$j < i$。那么$A_{j,i}$就等于0了。那么我们这样一行一行地消下去即可。我们对$A$中做的所有操作，顺便对$C$同时做就好了。反正都是乘上同一个矩阵。

一开始没有操作时$C$就是$I$。

最后我们用$O(N^3)$的复杂度求出了逆矩阵。