SRM 676 div1 hard

题目大意

有$n$种植物，每种植物生长需要$t_i$的时间，当然了，植物可以同时生长。现在有若干条限制$x_i,y_i$，表示植物$y_i$要等$x_i$生长完了他才能开始生成长。对于每种植物，可以用$c_i$的代价使其生长时间减1，可以重复使用，但最多减为0。问最少要多少时间所有植物才能长完。
$n \leq 50$

题解

这题很难。首先假设有两种超级植物$S,T$，表示$S$要一开始长，$T$要最后长。然后我们可以二分答案，设为$\lambda$，接下来，对于每种植物，设$x_i$表示他开始长的时间，$y_i$表示他结束生长的时间,$d_i$表示减了多少时间。那么可以列出约束

$$\left\{ \begin{aligned} y_s + \lambda &\geq x_t \\ x_i &\geq y_s \\ x_t &\geq y_i \\ y_i &\geq x_i \\ x_i + d_i &\geq y_i \\ x_i &\geq y_j (j要在i前)\\ \end{aligned} \right.$$
目标函数是
$$minimize\{\sum d_i \times c_i\}$$

接下来需要考虑一些经典的对偶模型。对于最大循环费用流，其线性规划模型是

$$\left\{ \begin{aligned} f_{i,j} &\geq b_{i,j} \\ \sum_{j} f_{i,j} &= \sum_{j} f_{j,i} \\ \end{aligned} \\ maximize\{\sum f_{i,j} \times cost_{i,j}\} \right.$$
这个东西的对偶，就是
$$v_{i,j} + \phi_i-\phi_j \geq cost_{i,j}\\ minimize\{\sum v_{i,j} \times b_{i,j} \}$$

可以发现这个对偶问题貌似能套在原问题上。
比如对于这条式子

$$y_i - x_i + d_i \geq t_i$$
是可以直接套的，这相当于在循环流中连上一条$x_i \rightarrow y_i$的流量为$c_i$费用为$t_i$的边。
那么对于类似$x_i - y_j \geq 0$这样的限制，我们只能强行给他加上一个变量$p$来凑$x_i - y_j + p \geq 0$，但必须满足$p = 0$，相当于在目标函数中$p$的系数为$+\infty$，那么在循环流中就相当于连上一条$y_j \rightarrow x_i$流量为$+\infty$费用为0的边。

最后的问题是，给定图G，如何求一个最大循环流。

最大循环流

这个问题等价于我们用若干个环，使得其覆盖的权值和最大。
一个点在环上，等价于其入度=出度。
那么我们一开始先贪心的把所有权值为正数的边都选上，同时修改两端的度数。对于一条负边权$(u,v,f,c)$，相当于我们可以以$c$的代价使得$deg[u] + 1$，$deg[v] - 1$，同理，对于一条正边权，我们可以把他删掉，相当于使$deg[v] + 1$，$deg[u] - 1$。最终要使得所有的$deg$都为0。这就变成了经典的费用流模型了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int maxn = 1005;

typedef long long ll;

class network
{
public:
    struct node
    {
        ll to,next,flow,cost;

        node(void){}
        node(int a,int b,ll c,ll d) : to(a),next(b),flow(c),cost(d){}
    }e[maxn * 100];

    ll deg[maxn];
    int final[maxn],ed[maxn][4],n,tot,s,t,cnt;

    void set(int siz)
    {
        n = siz,s = n,t = n + 1;
        for(int i = 0;i <= t;i ++) final[i] = deg[i] = 0;
        tot = 1;
        cnt = 0;
    }

    void link(int u,int v,ll f,ll c)
    {
        e[++ tot] = node(v,final[u],f,c),final[u] = tot;
        e[++ tot] = node(u,final[v],0,-c),final[v] = tot;
    }

    void push(int u,int v,int f,int c)
    {
        ed[++ cnt][0] = u,ed[cnt][1] = v,ed[cnt][2] = f,ed[cnt][3] = c;
    }

    ll maxflow()
    {
        static ll dis[maxn];
        static int pr[maxn];
        static bool in[maxn];
        ll ret = 0;
        for(;;)
        {
            for(int i = 0;i <= t;i ++) dis[i] = (1ll << 60),in[i] = 0;
            dis[s] = 0;
            static int que[maxn * 100];
            que[1] = s;
            in[s] = 1;
            for(int fi = 1,en = 1;fi <= en;fi ++)
            {
                int u = que[fi];
                for(int i = final[u];i;i = e[i].next)
                    if (e[i].flow > 0 && dis[e[i].to] > dis[u] + e[i].cost)
                    {
                        dis[e[i].to] = dis[u] + e[i].cost;
                        pr[e[i].to] = i;
                        if (!in[e[i].to])
                        {
                            in[e[i].to] = 1,que[++ en] = e[i].to;
                        }
                    }
                in[u] = 0;
            }
            if (dis[t] == (1ll << 60)) break;
            ll fl = (1ll << 60);
            for(int i = t;i != s;i = e[pr[i] ^ 1].to) 
                fl = min(fl,e[pr[i]].flow);
            ret += fl * dis[t];
            for(int i = t;i != s;i = e[pr[i] ^ 1].to)
                e[pr[i]].flow -= fl,e[pr[i] ^ 1].flow += fl;
        }
        return ret;
    }

    ll calc()
    {
        ll sum = 0;
        for(int i = 1;i <= cnt;i ++)
        {
            ll u = ed[i][0],v = ed[i][1],f = ed[i][2],c = ed[i][3];
            if (c < 0)
                link(u,v,f,-c); else
                {
                    sum += f * c;
                    deg[u] += f,deg[v] -= f;
                    link(v,u,f,c);
                }
        }
        for(int i = 0;i < n;i ++) 
            if (deg[i] < 0) link(s,i,-deg[i],0); else link(i,t,deg[i],0);
        return sum - maxflow();
    }
}flow;

class Farmville
{
public:
    int minTime(vector<string> s, vector<int> t, vector<int> c,int budget)
    {
        int l = 0,r = 100000,tmp,n = t.size();
        for(int mid;l <= r;)
        {
            mid = l + r >> 1;
            flow.set(n * 2 + 2);
            int ys = n * 2,xt = n * 2 + 1;
            for(int i = 0;i < n;i ++)
            {
                flow.push(ys,i << 1,1 << 30,0),flow.push(i << 1 | 1,xt,1 << 30,0);
                flow.push(i << 1,i << 1 | 1,1 << 30,0),flow.push(i << 1,i << 1 | 1,c[i],t[i]);
            }
            for(int i = 0;i < n;i ++)
                for(int j = 0;j < n;j ++)
                    if (s[i][j] == '1') flow.push(j << 1 | 1,i << 1,1 << 30,0);
            flow.push(xt,ys,1 << 30,-mid);
            if (flow.calc() > budget) l = mid + 1; else
                tmp = mid,r = mid - 1;
        }
        return tmp;
    }
};