[luogu2024] 食物链(带权并查集)

本文介绍了一种使用带权并查集解决动物食物链关系判断问题的方法。通过维护动物之间的关系,确保了每条边的权值能正确反映食物链中的同类和捕食关系。文章详细解释了如何进行路径压缩和节点合并,最终统计出描述语句中的假话数量。

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题目

描述

动物王国中有三类动物 A,B,C,这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B,B吃 C,C 吃 A。
现有 N 个动物,以 1 - N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种,但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述:
第一种说法是“1 X Y”,表示 X 和 Y 是同类。
第二种说法是“2 X Y”,表示 X 吃 Y 。
此人对 N 个动物,用上述两种说法,一句接一句地说出 K 句话,这 K 句话有的是真的,有的是假的。当一句话满足下列三条之一时,这句话就是假话,否则就是真话。
• 当前的话与前面的某些真的话冲突,就是假话
• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大,就是假话
• 当前的话表示 X 吃 X,就是假话
你的任务是根据给定的 N 和 K 句话,输出假话的总数。

输入

第一行两个整数,N,K,表示有 N 个动物,K 句话。
第二行开始每行一句话(按照题目要求,见样例)

输出

一行,一个整数,表示假话的总数。

输入样例

100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5

输出样例

3

说明

1 ≤ N ≤ 5e4
1 ≤ K ≤ 1e5


解题思路

在并查集中,我们给每条边加上一个权值(实际操作中边权下放到点权上):0表示这条边连接的两点是同种动物;1表示下面的点吃上面的点;2表示上面的点吃下面的点。

1 路径压缩


y=fa[x],z=fa[y]y=fa[x],z=fa[y],尝试用val[x],val[y]val[x],val[y]推导新的val[x]val[x]′,如下表:
发现 val[x]=(val[x]+val[y])%3val[x]′=(val[x]+val[y])%3

2 合并

如果两个点已经有关系了,则判断当前关系是否合法:

  • 若当前关系是同种动物,则易知val[x]val[x]必须等于val[y]val[y]
  • 若当前关系是xxy,则
    发现 val[x]=(val[y]+1)%3val[x]=(val[y]+1)%3

否则找关系合并(记a=findfa(x),b=findfa(y)a=findfa(x),b=findfa(y),将aa连到b上):

  • 条件为同种动物: 发现 val[a]=(val[y]val[x]+3)%3val[a]=(val[y]−val[x]+3)%3
  • 条件为xxy 发现 val[a]=(val[y]val[x]+4)%3val[a]=(val[y]−val[x]+4)%3

我们用这些式子来维护带权并查集,这道题就解决了


Code

#include<cstdio>

using namespace std;

const int N = 50005;
int n, m, k, a, b, ans, fa[N], val[N];

int findfa(int x){
    if(fa[x] == x)  return fa[x];
    int t = findfa(fa[x]);
    (val[x] += val[fa[x]]) %= 3;
    return fa[x] = t;
}
inline bool unionn(int x, int y, int k){
    int a = findfa(x), b = findfa(y);
    if(a == b){
        if(k == 1)  return val[x] == val[y];
        else    return val[x] == (val[y] + 1) % 3;
    }
    else{
        fa[a] = b;
        if(k == 1)  val[a] = (val[y] - val[x] + 3) % 3;
        else    val[a] = (val[y] - val[x] + 4) % 3;
        return true;
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d", &k, &a, &b);
        if((a == b && k == 2) || (a > n || b > n)){
            ans++;
            continue;
        }
        if(a ^ b)   ans += !unionn(a, b, k);
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}
### 关于可撤销并查集的洛谷练习题及相关数据结构 #### 可撤销并查集简介 可撤销并查集是一种扩展版本的并查集,能够在执行合并操作的同时保留回退的能力。这意味着可以在任意时刻撤消最近的一次 `union` 操作,从而恢复到之前的状态。这一特性使得该数据结构非常适合解决涉及动态连通性和历史状态查询的问题。 实现可撤销并查集的核心在于记录每次路径压缩或合并操作的变化,并将其存入栈中以便后续回溯。具体来说,在标准并查集中引入额外的数据结构(如栈)来保存父节点指针的历史修改情况[^1]。 下面是一些适合初学者和中级选手练习的洛谷平台上的题目: --- #### 推荐洛谷练习题 1. **P2860 [USACO06FEB]Redundant Paths G** 这道题考察的是如何利用带权并查集或者可撤销并查集计算最小边数使图成为双联通分量。虽然不强制要求使用可撤销并查集,但如果尝试用此方法解题会更加直观。 题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P2860 2. **P3970 [TJOI2015]线性代数** 虽然名字看起来与矩阵运算有关,但实际上可以通过构建虚拟点的方式转化为经典的并查集问题。进一步优化时可以考虑加入可撤销机制以应对复杂度较高的测试样例。 题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P3970 3. **P4180 [BJOI2012]树的难题** 此题需要维护森林中的多个独立子树之间的连接关系,并支持删除某些边的操作。因此非常适合作为学习可撤销并查集的应用实例之一。 题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P4180 4. **P2024 [AHOI2009]中国象棋** 将二维网格抽象成一维数组之后,可以用带有时间戳功能的可撤销并查集高效解答本题提出的询问类问题。 题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P2024 --- #### 实现代码示例 以下是一个简单的 C++ 版本的可撤销并查集模板程序: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct UndoUnionFind { vector<int> parent; vector<pair<int, int>> history; // 记录每一次改变 (x, old_parent) UndoUnionFind(int n): parent(n){ for(int i=0;i<n;i++) parent[i]=i; } int find_set(int x) { while(parent[x]!=x){ history.emplace_back(x,parent[x]); parent[x]=parent[parent[x]]; // Path compression x=parent[x]; } return x; } bool unite_sets(int x, int y){ int fx=find_set(x); int fy=find_set(y); if(fx !=fy ){ history.emplace_back(fy,fy); // Record the change of root node's father. parent[fy]=fx; return true; } return false; } void undo(){ if(history.empty())return ; auto &[node,new_father]=history.back(); parent[node]=new_father; history.pop_back(); } }; int main() { int n,m,q; cin >> n >> m >> q; UndoUnionFind uf(n+1); for(int i=0;i<m;i++){ int u,v; cin>>u>>v; uf.unite_sets(u,v); } while(q--){ string cmd; cin>>cmd; if(cmd=="undo"){ uf.undo(); }else{ int u,v; cin>>u>>v; cout <<(uf.find_set(u)==uf.find_set(v)? "YES":"NO")<<'\n'; } } } ``` --- #### 总结 通过以上介绍可以看出,掌握好基础版并查集的基础上再去深入理解其变种形式——比如种类并查集以及今天的主题可撤销并查集——对于提高算法竞赛水平至关重要。这些技巧不仅限于比赛场景下有用,在实际软件开发过程中也可能遇到类似的逻辑需求。
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