[luogu2024] 食物链(带权并查集)

本文介绍了一种使用带权并查集解决动物食物链关系判断问题的方法。通过维护动物之间的关系,确保了每条边的权值能正确反映食物链中的同类和捕食关系。文章详细解释了如何进行路径压缩和节点合并,最终统计出描述语句中的假话数量。

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题目

描述

动物王国中有三类动物 A,B,C,这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B,B吃 C,C 吃 A。
现有 N 个动物,以 1 - N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种,但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述:
第一种说法是“1 X Y”,表示 X 和 Y 是同类。
第二种说法是“2 X Y”,表示 X 吃 Y 。
此人对 N 个动物,用上述两种说法,一句接一句地说出 K 句话,这 K 句话有的是真的,有的是假的。当一句话满足下列三条之一时,这句话就是假话,否则就是真话。
• 当前的话与前面的某些真的话冲突,就是假话
• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大,就是假话
• 当前的话表示 X 吃 X,就是假话
你的任务是根据给定的 N 和 K 句话,输出假话的总数。

输入

第一行两个整数,N,K,表示有 N 个动物,K 句话。
第二行开始每行一句话(按照题目要求,见样例)

输出

一行,一个整数,表示假话的总数。

输入样例

100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5

输出样例

3

说明

1 ≤ N ≤ 5e4
1 ≤ K ≤ 1e5


解题思路

在并查集中,我们给每条边加上一个权值(实际操作中边权下放到点权上):0表示这条边连接的两点是同种动物;1表示下面的点吃上面的点;2表示上面的点吃下面的点。

1 路径压缩


y=fa[x],z=fa[y]y=fa[x],z=fa[y],尝试用val[x],val[y]val[x],val[y]推导新的val[x]val[x]′,如下表:
发现 val[x]=(val[x]+val[y])%3val[x]′=(val[x]+val[y])%3

2 合并

如果两个点已经有关系了,则判断当前关系是否合法:

  • 若当前关系是同种动物,则易知val[x]val[x]必须等于val[y]val[y]
  • 若当前关系是xxy,则
    发现 val[x]=(val[y]+1)%3val[x]=(val[y]+1)%3

否则找关系合并(记a=findfa(x),b=findfa(y)a=findfa(x),b=findfa(y),将aa连到b上):

  • 条件为同种动物: 发现 val[a]=(val[y]val[x]+3)%3val[a]=(val[y]−val[x]+3)%3
  • 条件为xxy 发现 val[a]=(val[y]val[x]+4)%3val[a]=(val[y]−val[x]+4)%3

我们用这些式子来维护带权并查集,这道题就解决了


Code

#include<cstdio>

using namespace std;

const int N = 50005;
int n, m, k, a, b, ans, fa[N], val[N];

int findfa(int x){
    if(fa[x] == x)  return fa[x];
    int t = findfa(fa[x]);
    (val[x] += val[fa[x]]) %= 3;
    return fa[x] = t;
}
inline bool unionn(int x, int y, int k){
    int a = findfa(x), b = findfa(y);
    if(a == b){
        if(k == 1)  return val[x] == val[y];
        else    return val[x] == (val[y] + 1) % 3;
    }
    else{
        fa[a] = b;
        if(k == 1)  val[a] = (val[y] - val[x] + 3) % 3;
        else    val[a] = (val[y] - val[x] + 4) % 3;
        return true;
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d", &k, &a, &b);
        if((a == b && k == 2) || (a > n || b > n)){
            ans++;
            continue;
        }
        if(a ^ b)   ans += !unionn(a, b, k);
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}
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