【控制系统的微分方程】

自动控制领域

数学模型是描述系统(或环节)的输出变量与输入变量(或内部变量) 之间关系的数学表达式。

代数方程反映系统静态关系。

微分方 程或偏微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）可以表示系统输入和输出之间的动态关系。

如何建立一个控制系统的数学模型

解析法：根据系统的运动学或动力学的规律和机理，如机械系统中的牛顿定律、电系统中的克希霍夫定律等，建立系统的数学表达式。

实验法：人为地给系统施加某种典型的输入信号，记录下对应的输出响应数据，通过辨识的方法采用适当的数学模型去模拟逼近该过程，获得数学模型。

线性系统：满足叠加原理的系统。
非线性系统：不满足叠加原理的系统。

定常系统还是时变系统

定常系统：微分方程的各项系数为常数。
时变系统：系统的微分方程的系数为时间的函数。

对任何线性定常系统，假如它的输出为c(t)，输入为r(t) ，
则系统微分方程模型的一般形式如下：

对于实际的系统，n≥m，而且大多数系统n>m。

建立控制系统微分方程的一般步骤

最好掌握RLC电路，弹簧质量阻尼器的机械位移系统 的微分方程建立。

微分方程模型分析系统性能

拉氏变换与反变换

用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤是：

对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成 以s为变量的代数方程；注意初始条件的处理。

求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；

将象函数展开成部分分式；

对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。

拉普拉斯变换：


拉普拉斯反变换

实例