Leetcode 70. 爬楼梯（简单）动态规划

最新推荐文章于 2025-08-26 23:58:46 发布

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#动态规划 #算法 #leetcode #数据结构

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本文探讨了经典的爬楼梯问题，通过动态规划方法解决。详细解析了如何使用递推公式计算达到楼顶的不同方法数量，同时提供了一般化的解决方案，适用于多种可能的步数选择。

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs
思路：

定义子问题

problem(i) = problem(i-1) + problem(i-2) //即求到第 i 层楼梯的方法数等于求解第 i-1 和第 i-2 层楼梯方法数的和。

状态转移方程

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

复杂度优化

由于我们每次只关注当前层数的前两个状态，所以可以用两个变量保存 i-1 和 i-2。（将一维数组降维成点）

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int pre = 1;
        int cur = 1;
        for(int i=2; i<=n; ++i)
        {
            int tmp = pre + cur;
            pre = cur;
            cur = tmp;
        }
        return cur;
    }
};

考虑将问题一般化：

我们现在是给出了可能的走法，走1层或者走2层。如果更加泛化呢，如可能的走法用数组给出，arr[2,3,5]。又该如何处理呢？

我们只需要修改我们的dp 方程就好。如：dp[i] = dp[i-2] + dp[i-3] + dp[i-5]，即 dp[i] += dp[i-j] (j=2,3,5)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n,0);
        dp[0] = 1;
        for(int i=2; i<=n; ++i)
        {
            for(int j=0; j < steps.size(); ++j)
            {
              int step = steps[j];
              if( i< step) continue; //台阶小于要跨越的步数
              dp[i] += dp[i-step];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};