【WebGPU学习杂记】数学基础拾遗（1）三角学基础

本文主要记录一些基础数学中的关键术语、公式、定义，方便查阅并基于此拓展和补充。部分内容需要有函数基础。
主要目的是熟悉这些公式即可，如果能够手推公式效果最理想（增加对公式的信任感）。

基础概念

• 内角、外角、补角、对边、临边
• 内角、外角和均为 $\pi$、任意两边长度加和 > 第三边
• 相似：
  • 三边对应成比例
  • 两边对应成比例且夹角相等
  • 两角对应角度相等
• 全等：三边相等、两边对应相等且夹角相等、双边角对应相等且夹边对应相等
• 单位圆、弧度制

几何直观

• 函数图像 $f(x)=\sin (x);f(x)=\cos (x);f(x)=\tan (x)$，了解奇偶特征、对称性、周期性、单调性、导数式
• 奇函数 $\sin (x)、\tan (x)$；偶函数 $\cos (x)$
• 对图像进行 平移、缩放、旋转、翻转 观察现象

基础公式

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

和差角公式（单位圆 + 向量点积、叉积定义方便推导）

$$\begin{gathered} \sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta } \end{gathered}$$

和差化积公式

$$\begin{gathered} \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} \\ \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} \\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2} \end{gathered}$$

倍角公式（由和差角公式, 令$\alpha =\beta$）

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha } \end{gathered}$$

半角公式

$$\begin{gathered} \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}} \\ \cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}} \\ \tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }} \end{gathered}$$