题意
给定一个坐标范围为 x∈[0,m]x∈[0,m], y∈[0,n]y∈[0,n] 的矩形和两个小球的坐标 (x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2) ,两个小球的初速度为 (1,1)(1,1) 当小球碰到矩形边缘时会进行反射(类似光的反射),求两个小球第一次相遇的位置。
1≤m,n≤1051≤m,n≤105
0≤x1,x2≤m0≤x1,x2≤m 0≤y1,y2≤n0≤y1,y2≤n
思路
比较复杂的一类题目。看到横纵坐标问题,想到把速度正交分解,单独考虑 xx 方向和 方向,事情会变得简单很多,先预处理处 x,yx,y 坐标各自第一次相同时的时间 tx,tytx,ty 。由于相遇有可能是在整点和半点,所以将 m,n,x1,y1,x2,y2m,n,x1,y1,x2,y2 这些量均乘以二,输出答案时再除以二即可。然后分四类讨论得到第一次相遇的时间:
两点重合
就是相遇在这个点,时间为 00 。
两点 坐标相同
运动过程中两点的 xx 必定一直相同,故时间为 坐标第一次相同的时间 tyty 。
两点 yy 坐标相同
与上述同理,时间为 。
两点 x,yx,y 坐标均不同
不难看出, xx 坐标在第一次相同后,每隔 秒均会相同一次; yy 坐标在第一次相同后,每隔 秒均会相同一次。原题需要找到一个 x,yx,y 坐标均相同的时间点,那么不难列出方程如下:
tx+k1m=ty+k2ntx+k1m=ty+k2n 其中 k1,k2k1,k2 为非负整数。
把方程化成一般形式:
k1m−k2n=ty−txk1m−k2n=ty−tx
可用扩展欧几里得求得 k1k1 的最小非负整数解 k′1k1′ ,时间即为 tx+k′1mtx+k1′m
至此分类讨论已完毕,接下来只用写一个“瞬移”的函数算出在某个位置的小球 tt 秒后在哪里就可以了。
代码
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
typedef long long LL;
using namespace std;
LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b){x=1,y=0;return;}
exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
return;
}
LL Exgcd(LL A,LL B,LL C)
{
LL k1,k2,g=gcd(A,B);
if(C%g)return -1;
A/=g,B/=g,C/=g;
exgcd(A,B,k1,k2);
return (k1*C%B+B)%B;
}
LL teleport(LL coor,LL t,LL bnd) //瞬移,也采用正交分解的思想
{return (coor+t)%(2*bnd)>bnd?2*bnd-(coor+t)%(2*bnd):(coor+t)%bnd;}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
FOR(Ti,1,T)
{
LL m,n,x_1,y_1,x_2,y_2;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&n,&x_1,&y_1,&x_2,&y_2);
m*=2,n*=2,x_1*=2,y_1*=2,x_2*=2,y_2*=2;
if(x_1==x_2&&y_1==y_2)
{
printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,x_1/2.0,y_1/2.0);
continue;
}
LL t_x=m-(x_1+x_2)/2,t_y=n-(y_1+y_2)/2;
if(x_1==x_2)printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_y,m)/2.0,teleport(y_1,t_y,n)/2.0);
else if(y_1==y_2)printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_x,m)/2.0,teleport(y_1,t_x,n)/2.0);
else
{
LL k1=Exgcd(m,n,t_y-t_x);
if(k1==-1)printf("Case #%d:\nCollision will not happen.\n",Ti);
else printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_x+k1*m,m)/2.0,teleport(y_1,t_x+k1*m,n)/2.0);
}
}
return 0;
}