HDU-5114 Collision(扩展欧几里得)

博客围绕给定坐标范围矩形内两小球相遇位置问题展开。先给出问题,即已知矩形范围和两小球坐标、初速度,求第一次相遇位置。接着介绍思路,将速度正交分解,分四点重合、x 坐标相同、y 坐标相同、x 和 y 坐标均不同四类讨论,最后给出代码求解。

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题意

给定一个坐标范围为 x[0,m]x∈[0,m], y[0,n]y∈[0,n] 的矩形和两个小球的坐标 (x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2) ,两个小球的初速度为 (1,1)(1,1) 当小球碰到矩形边缘时会进行反射(类似光的反射),求两个小球第一次相遇的位置。
1m,n1051≤m,n≤105
0x1,x2m0≤x1,x2≤m 0y1,y2n0≤y1,y2≤n

思路

比较复杂的一类题目。看到横纵坐标问题,想到把速度正交分解,单独考虑 xx 方向和 y 方向,事情会变得简单很多,先预处理处 x,yx,y 坐标各自第一次相同时的时间 tx,tytx,ty 。由于相遇有可能是在整点和半点,所以将 m,n,x1,y1,x2,y2m,n,x1,y1,x2,y2 这些量均乘以二,输出答案时再除以二即可。然后分四类讨论得到第一次相遇的时间:

两点重合

就是相遇在这个点,时间为 00

两点 x 坐标相同

运动过程中两点的 xx 必定一直相同,故时间为 y 坐标第一次相同的时间 tyty

两点 yy 坐标相同

与上述同理,时间为 tx

两点 x,yx,y 坐标均不同

不难看出, xx 坐标在第一次相同后,每隔 m 秒均会相同一次; yy 坐标在第一次相同后,每隔 n 秒均会相同一次。原题需要找到一个 x,yx,y 坐标均相同的时间点,那么不难列出方程如下:
tx+k1m=ty+k2ntx+k1m=ty+k2n 其中 k1,k2k1,k2 为非负整数。
把方程化成一般形式:
k1mk2n=tytxk1m−k2n=ty−tx
可用扩展欧几里得求得 k1k1 的最小非负整数解 k1k1′ ,时间即为 tx+k1mtx+k1′m

至此分类讨论已完毕,接下来只用写一个“瞬移”的函数算出在某个位置的小球 tt 秒后在哪里就可以了。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
typedef long long LL;
using namespace std;

LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
    return;
}
LL Exgcd(LL A,LL B,LL C)
{
    LL k1,k2,g=gcd(A,B);
    if(C%g)return -1;
    A/=g,B/=g,C/=g;
    exgcd(A,B,k1,k2);
    return (k1*C%B+B)%B;
}

LL teleport(LL coor,LL t,LL bnd)        //瞬移,也采用正交分解的思想
{return (coor+t)%(2*bnd)>bnd?2*bnd-(coor+t)%(2*bnd):(coor+t)%bnd;}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    FOR(Ti,1,T)
    {
        LL m,n,x_1,y_1,x_2,y_2;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&n,&x_1,&y_1,&x_2,&y_2);
        m*=2,n*=2,x_1*=2,y_1*=2,x_2*=2,y_2*=2;
        if(x_1==x_2&&y_1==y_2)
        {
            printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,x_1/2.0,y_1/2.0);
            continue;
        }
        LL t_x=m-(x_1+x_2)/2,t_y=n-(y_1+y_2)/2;
        if(x_1==x_2)printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_y,m)/2.0,teleport(y_1,t_y,n)/2.0);
        else if(y_1==y_2)printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_x,m)/2.0,teleport(y_1,t_x,n)/2.0);   
        else
        {
            LL k1=Exgcd(m,n,t_y-t_x);
            if(k1==-1)printf("Case #%d:\nCollision will not happen.\n",Ti);
            else printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_x+k1*m,m)/2.0,teleport(y_1,t_x+k1*m,n)/2.0);
        }
    }
    return 0;
}
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