HDU-5114 Collision（扩展欧几里得）

题意

给定一个坐标范围为 $x \in [0,m]$, $y \in [0,n]$ 的矩形和两个小球的坐标 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，两个小球的初速度为 $(1,1)$ 当小球碰到矩形边缘时会进行反射（类似光的反射），求两个小球第一次相遇的位置。
$1 \leq m,n \leq 10^5$
$0 \leq x_1,x_2 \leq m$ $0 \leq y_1,y_2 \leq n$

思路

比较复杂的一类题目。看到横纵坐标问题，想到把速度正交分解，单独考虑 $x$ 方向和 $y$ 方向，事情会变得简单很多，先预处理处 $x,y$ 坐标各自第一次相同时的时间 $t_x,t_y$ 。由于相遇有可能是在整点和半点，所以将 $m,n,x_1,y_1,x_2,y_2$ 这些量均乘以二，输出答案时再除以二即可。然后分四类讨论得到第一次相遇的时间：

两点重合

就是相遇在这个点，时间为 $0$ 。

两点 $x$ 坐标相同

运动过程中两点的 $x$ 必定一直相同，故时间为 $y$ 坐标第一次相同的时间 $t_y$ 。

两点 $y$ 坐标相同

与上述同理，时间为 $t_x$ 。

两点 $x,y$ 坐标均不同

不难看出， $x$ 坐标在第一次相同后，每隔 $m$ 秒均会相同一次； $y$ 坐标在第一次相同后，每隔 $n$ 秒均会相同一次。原题需要找到一个 $x,y$ 坐标均相同的时间点，那么不难列出方程如下：
$t_x+k_1m=t_y+k_2n$ 其中 $k_1,k_2$ 为非负整数。
把方程化成一般形式：
$k_1m-k_2n=t_y-t_x$
可用扩展欧几里得求得 $k_1$ 的最小非负整数解 $k_1'$ ，时间即为 $t_x+k_1'm$

至此分类讨论已完毕，接下来只用写一个“瞬移”的函数算出在某个位置的小球 秒后在哪里就可以了。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
typedef long long LL;
using namespace std;

LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
    return;
}
LL Exgcd(LL A,LL B,LL C)
{
    LL k1,k2,g=gcd(A,B);
    if(C%g)return -1;
    A/=g,B/=g,C/=g;
    exgcd(A,B,k1,k2);
    return (k1*C%B+B)%B;
}

LL teleport(LL coor,LL t,LL bnd)        //瞬移，也采用正交分解的思想
{return (coor+t)%(2*bnd)>bnd?2*bnd-(coor+t)%(2*bnd):(coor+t)%bnd;}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    FOR(Ti,1,T)
    {
        LL m,n,x_1,y_1,x_2,y_2;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&n,&x_1,&y_1,&x_2,&y_2);
        m*=2,n*=2,x_1*=2,y_1*=2,x_2*=2,y_2*=2;
        if(x_1==x_2&&y_1==y_2)
        {
            printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,x_1/2.0,y_1/2.0);
            continue;
        }
        LL t_x=m-(x_1+x_2)/2,t_y=n-(y_1+y_2)/2;
        if(x_1==x_2)printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_y,m)/2.0,teleport(y_1,t_y,n)/2.0);
        else if(y_1==y_2)printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_x,m)/2.0,teleport(y_1,t_x,n)/2.0);   
        else
        {
            LL k1=Exgcd(m,n,t_y-t_x);
            if(k1==-1)printf("Case #%d:\nCollision will not happen.\n",Ti);
            else printf("Case #%d:\n%.1f %.1f\n",Ti,teleport(x_1,t_x+k1*m,m)/2.0,teleport(y_1,t_x+k1*m,n)/2.0);
        }
    }
    return 0;
}