【poj1061】青蛙的约会（数论，exgcd）

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这道题看了很多个题解（刚接触数论方面的题目）...然后自己总结了一个更容易看懂的一篇题解。

参考链接：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_59825cee0100la9u.html

http://blog.youkuaiyun.com/loi_dqs/article/details/49488851

1.

由题目中给出的数据，可以看出两只青蛙在碰面了过后的位置相当于(x+tm)%L,(y+tm)%L (k是设的青蛙跳了多少步后碰面)

相当于解方程

x+tm≡y+tn (mod L）

尝试化简，

                            (x+tm)+p*L=y+tn(p为任意整数)

拆括号,则变成了

(m-n)*t+L*p=y-x

终于变成了我们所熟悉的ax+by=c的形式

令m-n=a,L=b,y-x=c;

那就是解

                                                  a*t+b*p=c

中t的最小值

但是，问题来了，我们不能保证a*t+b*p=c是有解的

如果方程无解

那么c一定不整除gcd(a,b),因为方程左边肯定可以整除gcd(a,b)

那如果有解呢...

（敲黑板！重点来了）

（以下摘自大佬2的证明过程 然后修改了一点）

设要解的方程（求x）是：

ax1+by1=c

而我们已经解得

ax+by=gcd(a,b)=d

此时将第二个方程左右同时乘c/d，则可得：

所以：

这样并没有完，因为这只是一组解，我们要求最小正整数解。

我们知道：若一组 < x,y > 是ax+by=c的一组解，那么

                                                            

（把这两个带进原方程，你会发现抵消了一些项，可以证明）

也是原方程的一组解。

这样我们只需要让解得的x不断减b/d，直到再减就为负数时，所得的x就是我们要的解。 
其实这个过程就是模运算，所以最小正整数解就是：

附上代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL x,y,m,n,L;
LL x1,y1;
LL d;
void exgcd(LL a,LL b)
{
	if(b==0)
	{
		x1=1;
		y1=0;
		d=a;
	}
	else
	{
		exgcd(b,a%b);
		LL temp=x1;
		x1=y1;
		y1=temp-(a/b)*y1;
	}
}

int main()
{
	while(cin>>x>>y>>m>>n>>L)
	{
		if(m==n)
		{
			cout<<"Impossible"<<endl;
			continue;
		}
		LL a=m-n;
		LL b=L;
		LL c=y-x;
		if(a<0)
		{
			a=-a;
			c=-c;
		}
		exgcd(a,b);
		if(c%d)	
		{
			cout<<"Impossible"<<endl;
		}
		else
		{
			x1=x1*c/d;   
            b=b/d;  
            if(x1>=0)  
                x1=x1%b;  
            else  
                x1=x1%b+b;  
            if(x1==0)  
                x1=b;  
            cout<<x1<<endl;
		}
	}
	return 0;
}