【动态规划】LeetCode 300.最长递增子序列-优快云博客

动态规划解题套路框架

动态规划问题的一般形式就是求最值，它的核心问题是穷举。

特点

1.这类问题存在“重叠子问题”，如果暴力穷举会导致效率极其低下。
2.这类问题一定会具备“最优子结构”。
3.只有列出正确的“状态转移方程”才能正确穷举，也是最困难的一步。

思考方向

1.这个问题的base case（最简单情况）是什么
2.这个问题有什么状态
3.对于每个状态，可以做出什么选择使得状态发生改变
4.如何定义dp数组/函数来表现状态和选择
概括：状态，选择，dp数组的定义

框架

#初始化base case  
    dp[0][1][...]=base case  
    #进行状态转移  
    for 状态1 in 状态1的所有取值  
      for 状态2 in 状态2的所有取值  
	for...  
		dp[状态1][状态2][...]=求最值（选择1，选择2，...）

注意：但凡遇到需要递归解决的问题，最好都画出递归树，递归算法的时间复杂度=子问题个数*解决一个子问题需要的时间

300. 最长递增子序列

300. 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

解法

动态规划的核心设计思想是数学归纳法，假如我们想证明一个数学结论，那么先假设这个结论在k<n时成立，然后根据这个假设，想办法推导出k=n时此结论成立。

而动态规划需要一个dp数组，可以假设dp[0…i-1]都已经被算出来了，问自己怎么通过这些结果算出dp[i]?

首先要定义清楚dp数组的含义，dp[i]的值到底代表什么

此处我们定义dp[i]为以num[i]这个数结尾的最长递增子序列的长度，根据这个定义可以推出base case:dp[i]的初始值为1，因为以nums[i]结尾的最长递增子序列起码要包含自身

例子

在这里插入图片描述

此时dp[3]=3,d[4]=2

算法严谨的过程是从i=0开始遍历dp数组，通过dp[0…i-1]来推导dp[i],根据这个定义最终结果应该是dp数组中的最大值

假设我们现在知道了dp[0…4]的所有结果，如何通过这些已知结果推出dp[5]?

想求dp[5]的值，也就是想求以nums[5]为结尾的最长递增子序列，若nums[5]为x，只要找到前面那些结尾比x小的子序列，然后把x接到最后就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一

当i=n时，dp[n]就可以算出来，利用数学归纳也能算出其他的

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int dp[]=new int[nums.length];//创建一个等长的dp数组
        Arrays.fill(dp,1);//初始值为1
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){//里层循环用于当前nums[i]和其之前的nums[j]的数值比较
                 if(nums[i]>nums[j]){
                     //如果形成了递增关系，则判断dp[i]原本的值是否比新递增序列的长度要大
                     dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
                 }
            }
        }
        int res=0;//遍历得最大值
        for(int k=0;k<nums.length;k++){
            res=Math.max(res,dp[k]);
        }
        return res;
    }
}