Maximum Subsequence Sum

本文介绍了一种求解最大连续子序列和及其起始和结束位置的算法,通过使用前缀和与贪心策略实现O(n)的时间复杂度。

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Given a sequence of K integers { N1N2, ..., NK }. A continuous subsequence is defined to be { NiNi+1, ..., Nj } where 1. The Maximum Subsequence is the continuous subsequence which has the largest sum of its elements. For example, given sequence { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }, its maximum subsequence is { 11, -4, 13 } with the largest sum being 20.

Now you are supposed to find the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence.

Input Specification:

Each input file contains one test case. Each case occupies two lines. The first line contains a positive integer K (). The second line contains K numbers, separated by a space.

Output Specification:

For each test case, output in one line the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence. The numbers must be separated by one space, but there must be no extra space at the end of a line. In case that the maximum subsequence is not unique, output the one with the smallest indices i and j(as shown by the sample case). If all the K numbers are negative, then its maximum sum is defined to be 0, and you are supposed to output the first and the last numbers of the whole sequence.



题意:给出一组序列,求最大连续子序列最大和,并记录起点和终点(若有多个,优先选择第一个得到最大和的起点和终点)


前缀和+贪心思想 = O(n)

解析:对于前缀和s1为负数的连续子序列,直接舍去,更新临时起点(临时!!),当前缀和s2比之前记录的前缀和si要大时,把起点和终点一起更新


  ans = a[0]; 
 for(int i = 0 ; i < k ; i ++){
          sum +=a[i];
          if(sum < 0 ) {  sum = 0 ;fst = i+1 ; continue;}
          if(sum > ans){ ans = sum; st = fst; ed = i;}
   }


前缀和+暴力枚举 (枚举起点和终点)

  ans = a[0]; 
  for(int i = 0 ; i < k ; i ++){
        sum = 0;
     for(int j = i ; j < k ; j++){
          sum +=a[j];
          if(sum > ans){ ans = sum; st = i; ed = j;}
     }
   }

### 最大子序列和问题的解决方法 最大子序列和问题是经典的算法问题之一,目标是从给定数组中找到一个连续子序列,使得该子序列中的元素之和达到最大值。以下是基于动态规划的思想实现的一个高效解决方案。 #### 动态规划法 通过维护两个变量 `current_sum` 和 `max_sum` 来记录当前子序列的最大和以及全局范围内的最大和。遍历整个数组一次即可完成计算: ```python def max_subsequence_sum(nums): current_sum = 0 max_sum = float('-inf') # 初始化为负无穷大 for num in nums: current_sum = max(num, current_sum + num) # 更新当前子序列和 max_sum = max(max_sum, current_sum) # 更新全局最大和 return max_sum ``` 上述代码的时间复杂度为 \(O(n)\),其中 \(n\) 是输入列表的长度[^1]。 #### 示例运行 假设我们有如下输入数据: ```python nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] result = max_subsequence_sum(nums) print(result) # 输出应为6 (子序列为 [4,-1,2,1]) ``` 此方法的核心在于每次迭代都决定是否将当前数加入到现有子序列或者重新开始一个新的子序列。 #### 非连续子序列的情况 如果允许选取非连续的子序列,则可以采用贪心策略来解决问题。对于这个问题的具体实现方式已经在 JavaScript 的例子中有体现。然而,在 Python 中可以通过简单的排序加累加操作快速得到结果: ```python def non_contiguous_max_subsequence_sum(nums): positive_nums = sorted([num for num in nums if num > 0], reverse=True) total = sum(positive_nums) return total if total != 0 else max(nums) # 测试用例 nums = [7, 2, -8, 4, 10, -2] result = non_contiguous_max_subsequence_sum(nums) print(result) # 应输出23 ``` 这里需要注意的是当所有数值均为负数时需单独处理以确保返回最大的单个元素作为结果。 ### 结论 无论是针对连续还是非连续情况下的最大子序列求和问题都可以借助不同的优化手段有效解决。前者依赖于线性的扫描过程而后者则可能涉及更复杂的逻辑判断或额外的数据结构支持。
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