bzoj #1101 ZAP-Queries (莫比乌斯反演)

本文探讨了一个密码破解问题,通过使用莫比乌斯反演算法优化求解过程。介绍了莫比乌斯函数及其性质,并给出了线性筛算法实现的代码示例。

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原题链接(又一道权限题?)
题意:
FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助。
(1<=n<=50000,1<=d<=a,b<=50000)
首先挂一个莫比乌斯反演的公式:
f(n) F(n) 是定义在正整数集合下的两个函数,并且满足

F(n)=d|nf(d)
则有
f(n)=d|nμ(d)F(nd)

其中 μ(d) 为莫比乌斯函数,其定义为
这里写图片描述
(扯远了)
对于每个询问a,b,d,我们要求的是
i=1aj=1b(gcd(i,j)==d)

这不难理解,若我们令
a=a/d,b=b/d

则原式转化为
i=1aj=1b(gcd(i,j)==1)

考虑到①式,则有
i=1aj=1bd|gcd(i,j)μ(d)

因为 d|gcd(i,j) 等价于 d|i,d|j ,所以我们便可以得到
i=1min(a,b)μ(i)(a/i)(b/i)

(这里的除号为取整符号)
推导到这里,时间复杂度依然有O(n^2),那如何优化呢?
考虑μ(i)函数为积性函数,我们便用线性筛的方法在O(n)的时间求出μ(i),顺便维护一个前缀和即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 50050
using namespace std;
typedef long long ll;
int p[maxn],i,j,m,n,d,x,y,u[maxn],top=0,t,a,b;
bool vis[maxn];
ll ans;
int main()
{
    scanf("%d",&t); memset(vis,0,sizeof(vis)); u[1]=1;
    for (i=2;i<=50000;i++)
    {
        if (!vis[i]) {p[++top]=i,u[i]=-1;}
        for (j=1;i*p[j]<=50000;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]!=0) u[i*p[j]]=u[i]*u[p[j]];else break;
        }
    }
    for (i=2;i<=50000;i++) u[i]+=u[i-1];
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        {
            a/=d,b/=d,ans=0ll,top=min(a,b),i=1;
            while (i<=top)
            {
                j=min(a/(a/i),b/(b/i));
                ans+=(ll)(u[j]-u[i-1])*(a/i)*(b/i);
                i=j+1;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
} 
### 关于 BZOJ1728 Two-Headed Cows (双头牛) 的算法解析 此问题的核心在于如何通过有效的图论方法解决给定约束下的最大独立集问题。以下是详细的分析和解答。 #### 问题描述 题目要求在一个无向图中找到最大的一组节点集合,使得这些节点之间满足特定的颜色匹配条件。具体来说,每条边连接两个节点,并附带一种颜色标记(A 或 B)。对于任意一条边 \(u-v\) 和其对应的颜色 \(c\),如果这条边属于最终选取的子集中,则必须有至少一个端点未被选入该子集或者两端点均符合指定颜色关系。 #### 解决方案概述 本题可以通过 **二分枚举 + 图染色验证** 来实现高效求解。核心思想如下: 1. 假设当前最优解大小为 \(k\),即尝试寻找是否存在一个大小为 \(k\) 的合法子集。 2. 枚举每一个可能作为起点的节点并将其加入候选子集。 3. 对剩余部分执行基于 BFS/DFS 的图遍历操作,在过程中动态调整其他节点的状态以确保整体合法性。 4. 如果某次试探能够成功构建符合条件的大规模子集,则更新答案;反之则降低目标值重新测试直至收敛至最佳结果。 这种方法利用了贪心策略配合回溯机制来逐步逼近全局最优点[^1]。 #### 实现细节说明 ##### 数据结构设计 定义三个主要数组用于记录状态信息: - `color[]` : 存储每个顶点所分配到的具体色彩编号; - `used[]`: 表示某个定点是否已经被处理过; - `adjList[][]`: 记录邻接表形式表示的原始输入数据结构便于后续访问关联元素。 ##### 主要逻辑流程 ```python from collections import deque def check(k, n): def bfs(start_node): queue = deque([start_node]) used[start_node] = True while queue: u = queue.popleft() for v, c in adjList[u]: if not used[v]: # Assign opposite color based on edge constraint &#39;c&#39; target_color = (&#39;B&#39; if c == &#39;A&#39; else &#39;A&#39;) if color[u]==c else c if color[v]!=target_color and color[v]!=&#39;?&#39;: return False elif color[v]==&#39;?&#39;: color[v]=target_color queue.append(v) used[v] =True elif ((color[u]==c)==(color[v]==(&#39;B&#39;if c==&#39;A&#39;else&#39;A&#39;))): continue return True count=0 success=True for i in range(n): if not used[i]: temp_count=count+int(color[i]==&#39;?&#39; or color[i]==&#39;A&#39;) if k<=temp_count: color_copy=color[:] if bfs(i): count=temp_count break else : success=False return success n,m=list(map(int,input().split())) colors=[[&#39;?&#39;]*m]*n for _ in range(m): a,b,c=input().strip().split() colors[int(a)-1].append((int(b),c)) low ,high,res=0,n,-1 while low<=high: mid=(low+high)//2 color=[&#39;?&#39;]*n used=[False]*n if check(mid,n): res=mid low=mid+1 else : high=mid-1 print(res) ``` 上述代码片段展示了完整的程序框架以及关键函数 `check()` 的内部运作方式。它接受参数 \(k\) 并返回布尔值指示是否有可行配置支持如此规模的选择[^2]。 #### 复杂度分析 由于采用了二分查找技术缩小搜索空间范围再加上单轮 DFS/BFS 时间复杂度 O(V+E),总体性能表现良好适合大规模实例运行需求。 ---
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