K Upside down primes German Collegiate Programming Contest 2015 [ Miller_Rabin ]

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#数论 #判断素数 #Miller_Rabin #ACM

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本文深入探讨了Upsidedown Primes的概念，即数字旋转180度后仍为素数的情况，同时介绍了如何使用Miller-Rabin算法进行高效的大数素性测试。通过具体的代码实现，展示了数据翻转和素性判断的过程。

题目链接：

K. Upside down primes

题意概括：

判断输入是否为素数，并且翻转180度后也为素数，翻转规则如下：

翻转后6与9要互换
3、4、7 翻转后无意义，当错误处理（无法组成数，自然就不是素数）
其他数翻转后不改变

题解分析：

数据的读入和翻转不是问题，我的处理是直接用数组模拟，其实用 string 做会更好。有一点需要注意的是数据范围是1e16，所以都要用long long。

至于判断素数，其实本题用遍历到平方根的 $O\left ( \sqrt{n} \right )$ 算法也可以，但是看到大数第一反应还是用了Miller_Rabin算法(米勒拉宾素数判定法，概率素数测试算法，涉及费马小定理等许多数论)，这些在之后的博客会详解，不再多提。

AC代码：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long  ll;
const int T = 9;

ll mod_mult(ll a, ll b, ll mod) {           //大数乘法取模
    a %= mod;
    b %= mod;
    ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans += a;
            if (ans >= mod)
                ans -= mod;
        }
        a <<= 1;
        if (a >= mod) a = a - mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod) {            //快速幂
    if (n == 0) return 1;
    ll res = mod_pow(mod_mult(x , x , mod), n / 2, mod);
    if (n & 1) res = mod_mult(res , x , mod);
    return res;
}


bool check(ll a, ll n, ll x, ll t) {       //来判断是不是素数
    ll ret = mod_pow(a, x, n), last = ret;
    for (int i = 1; i <= t; i ++) {
        ret = mod_mult(ret, ret, n);
        if (ret == 1 && last != 1 && last != n - 1) return true;//合数
        last = ret;
    }
    if (ret != 1) return true;
    else return false;
}

bool Miller_Rabin(ll n)         //Miller_Rabin算法
{
    if( n < 2) return false;
    if( n == 2) return true;
    if(!(n & 1)) return false;//偶数
    ll x = n - 1, t = 0;
    while (!(x & 1)) { x >>= 1; t++;}
    for (int i = 0; i < T; i ++) {
        ll a = rand() % (n - 1) + 1;
        if (check(a, n, x, t))
            return false;
    }
    return true;
}

int main(){

    int temp[17], cnt=0;
    ll n;
    bool flag = true;

    scanf("%lld",&n);
    
    if(flag = Miller_Rabin(n))
        while(n > 0) {
            temp[cnt] = n % 10;
            n = n / 10;
            if (temp[cnt] == 3 || temp[cnt] == 4 || temp[cnt] == 7)
            {flag = false; break;}
            else if(temp[cnt] == 6)
                temp[cnt] = 9;
            else if(temp[cnt] == 9)
                temp[cnt] = 6;

            cnt ++;
        }

    if(flag){
        for(int i = 0; i < cnt ; i ++)
            n = n * 10 + temp[i];
        if (!Miller_Rabin(n))
            flag = false;
    }
    if (flag)
        printf("yes\n");
    else printf("no\n");
}

Upside down primes

Last night, I must have dropped my alarm clock. When the alarm went off in the morning, it showed 51:80 instead of 08:15. This made me realize that if you rotate a seven segment display like it is used in digital clocks by 180 degrees, some numbers still are numbers after turning them upside down.