该文详细阐述了如何验证一个旋转矩阵是正交矩阵，主要涉及矩阵的转置与其逆的关系，以及利用向量内积的性质证明矩阵主对角线元素为1，非对角线元素为0，从而得出旋转矩阵是正交矩阵的结论。
这是本人的解答，并非官方解答
验证旋转矩阵是正交矩阵
在第44页中，旋转矩阵的引入是这样的：
所以，我们需要验证矩阵
R=[e1Te1′e1Te2′e1Te3′e2Te1′e2Te2′e2Te3′e3Te1′e3Te2′e3Te3′]R = \begin{bmatrix} e_1^{T}e_1^{'}&& e_1^{T}e_2^{'} && e_1^{T}e_3^{'}\\
e_2^{T}e_1^{'}&& e_2^{T}e_2^{'} && e_2^{T}e_3^{'}\\
e_3^{T}e_1^{'}&& e_3^{T}e_2^{'} && e_3^{T}e_3^{'}\\
\end{bmatrix}R=e1Te1′e2Te1′e3Te1′e1Te2′e2Te2′e3Te2′e1Te3′e2Te3′e3Te3′
是正交矩阵，
那么我们只需要验证矩阵 R 的转置是他的逆就可以了。
RT=[e1’Te1e1‘Te2e1’Te3e2‘Te1e2‘Te2e2‘Te3e3’Te1e3’Te2e3’Te3]R^T=\begin{bmatrix} e_1^{’T}e_1^{}&& e_1^{‘T}e_2^{} && e_1^{’T}e_3^{}\\
e_2^{‘T}e_1^{}&& e_2^{‘T}e_2^{} && e_2^{‘T}e_3^{}\\
e_3^{’T}e_1^{}&& e_3^{’T}e_2^{} && e_3^{’T}e_3^{}\\
\end{bmatrix}RT=e1’Te1e2‘Te1e3’Te1e1‘Te2e2‘Te2e3’Te2e1’Te3e2‘Te3e3’Te3
RTR=[e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’−−−−−−−]R^{T}R=\begin{bmatrix} e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+
e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+
e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’}&&
e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+
e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+
e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’}
&& -\\
-&& - && -\\
-&& - && -\\
\end{bmatrix}RTR=e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’−−e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’−−−−−
需要证明：
e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’=1(1)e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+
e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+
e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’}=1 \tag{1}e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’=1(1)
根据向量內积的性质，有：
e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’=cos2a+cos2b+cos2ce_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+
e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+
e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’} =\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 ce1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’=cos2a+cos2b+cos2c
其中 a,b,ca,b,ca,b,c 分别为向量 e1′e_1^{'}e1′ 与坐标系的三个基底e1,e2,e3e_1^{},e_2^{},e_3^{}e1,e2,e3所成夹角。由接下来的这张图，易得式（1）成立。
下面要证明：
e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’=0(2)e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+
e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+
e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’} = 0 \tag{2}e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’=0(2)
不妨令：
e1=[100]e2=[010]e3=[001]e_1 =\begin{bmatrix} 1 \\
0\\
0\\
\end{bmatrix}
e_2 =\begin{bmatrix} 0 \\
1\\
0\\
\end{bmatrix}
e_3 =\begin{bmatrix} 0 \\
0\\
1\\
\end{bmatrix}
e1=100e2=010e3=001
则
e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’=e1’T(e1e1T+e2e2T+e3e3T)e2’
e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+
e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+
e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’} =
e_1^{’T}(e_1^{}e_1^{T}+e_2^{}e_2^{T}+e_3^{}e_3^{T})e_2^{’}
e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’=e1’T(e1e1T+e2e2T+e3e3T)e2’
而
e1e1T+e2e2T+e3e3T=Ie_1^{}e_1^{T}+e_2^{}e_2^{T}+e_3^{}e_3^{T}=Ie1e1T+e2e2T+e3e3T=I
所以 式（2）左边
=e1’TIe2’=e1’Te2’=0(正交基旋转之后还是正交基)=e_1^{’T}Ie_2^{’}=e_1^{’T}e_2^{’}=0(正交基旋转之后还是正交基)=e1’TIe2’=e1’Te2’=0(正交基旋转之后还是正交基)
注意，式（1）的证明也可以用式（2）证明的方法。
同理可证矩阵 RTRR^{T}RRTR 主对角线元素为1，其余元素为0，所以其为单位阵。
同理可证矩阵RRTRR^{T}RRT是单位阵。
所以，矩阵 R 是正交矩阵。
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