什么是流形

最新推荐文章于 2025-04-30 00:46:01 发布
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#拓扑学

博客提及高等数学同济六版下册、流形上的微积分以及拓扑学导论等内容，聚焦于高等数学和拓扑学领域的知识。

高等数学同济六版下册
流形上的微积分
拓扑学导论
拓扑学导论
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第39篇:微分流形与流形学习算法
AI天才研究院
04-20 1125
第39篇:微分流形与流形学习算法 1.背景介绍 1.1 什么是流形 在数学中,流形(manifold)是一种拓扑空间,它在每一点都类似于欧几里得空间。更精确地说,一个流形是一个局部像欧几里得空间的拓扑空间。流形的概念源于对曲线和曲面在高维空间中的推
流形学习【Manifold Learning】
薛定谔的猫的博客
11-18 3756
流形是局部具有欧几里得空间性质的拓扑空间。换句话说，流形是一个可以在局部范围内近似为欧几里得空间的空间。欧几里得空间（Euclidean space）是一类特殊的向量空间，它允许讨论长度、夹角等几何性质。n维欧几里得空间表示为RnRn是由所有n元有序实数元组构成的空间。二维欧几里得空间R2R2：由所有形如xy(x,y)xy的有序对组成，可以表示平面上的所有点。三维欧几里得空间R3R3：由所有形如xyz(x,y,z)xyz。
流形几何（Manifold Geometry）
Rhett_Butler0922的博客
04-30 1522
现在我们进入更严格的数学定义。流形几何是微分几何的一个分支，研究的对象是微分流形，即具有光滑结构的流形。一个拓扑流形局部欧几里得：对于流形上的每一点ppp，存在一个邻域UUU，这个邻域可以通过一个同胚（homeomorphism，双射且连续，逆也连续）映射到一个欧几里得空间RnRn的开集。Hausdorff空间：任何两个不同的点可以被不相交的开集分开（保证点的可区分性）。第二可数：拓扑空间的基可以由可数个开集构成（保证空间不“太大”）。维度：流形的维度是局部同胚映射到的RnRn的n。
机器学习——流形学习
m0_60388871的博客
02-06 2484
简单来说，流形学习就是一种找到数据内在结构的智能方式，使得我们可以更简单地处理和理解复杂的高维数据。
什么是流形（manifold）、流形学习
Rolandxxx的博客
10-14 1万+
它的主要思想是将高维的数据映射到低维，使该低维的数据能够反映原高维数据的某些本质结构特征。可以简单的将流形理解成二维空间的曲线，三维空间的曲面在更高维空间的推广。下图是三维空间中的一个流形，这是一个卷曲面，像一个瑞士卷一样，而3维空间中的曲面可以看做是2维的流形，因为曲面是2维的。n维空间中的m维流形就是具有m维几何形状的一个子集，在这里，m小于n。图上所标注的两个圈圈，在流形（把卷展开）上本距离非常远，但是用三维空间的欧氏距离来计算则它们的距离要近得多。
流形学习
xywlpo的专栏
05-27 8205
总觉得即使是“浅谈”两个字，还是让这个标题有些过大了，更何况我自己也才刚刚接触这么一个领域。不过懒得想其他标题了，想起来要扯一下这个话题，也是因为和朋友聊起我自己最近在做的方向。Manifold Learning 或者仅仅 Manifold 本身通常就听起来颇有些深奥的感觉，不过如果并不是想要进行严格的理论推导的话，也可以从许多直观的例子得到一些感性的认识，正好我也就借这个机会来简单地谈一下这个话题吧，或者说至少是我到目前为止对这它的认识。这两个词，在谈 Manifold 之前，不妨先说说 Learning
流形
小白的专栏
02-10 1457
上一章讲了流形学习，那么流形是什么还没解决，于是找到了一篇比较科普性质的文章，这里与大家分享 转自：http://songshuhui.net/archives/31297/ 1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位， 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了
157-1014什么是流形-1080P 高清-AVC.mp4
03-20
157-1014什么是流形-1080P 高清-AVC.mp4
什么是流形学习，等度量特征映射，局部线性嵌入，随机近邻嵌入，度量学习的原理
m0_74052450的博客
01-02 672
度量学习是一种学习模型，其目标是学习一个适当的距离度量，使得相似的数据点在该度量下的距离较小，不相似的数据点距离较大。度量学习的核心思想是通过学习一个适当的距离函数，使得相似的数据对在特征空间中更接近，不相似的数据对更远离。其核心假设是：尽管数据生活在高维空间中，数据实际上可能集中在一个低维流形（manifold）上，而流形学习的任务就是找到这个低维流形的结构，并将其映射到低维空间中，以便更容易进行分析和处理。局部线性嵌入（LLE）也是一种流形学习算法，它的目标是通过保持数据的局部线性结构来实现降维。
什么是流形？
Kp0fS的草稿纸
05-09 1893
什么是流形？ 写的很好。 感觉就是一个多维空间的抽象，在这个空间中，距离的定义稍微有些特殊； 1、流形就是弯曲的 N实数描述的 点集合； 2、两点间的距离有定义：邻近的两点，其距离是 座标差的平方，相加 ，开根号。遥远的两点求其距离，需先在中途铺设多点形成路径，以点点相连为路径长，取最短的路径长定义为距离。 3、流形的局部和欧式空间是同构的。 4、黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指定了欧式内积的微分流形。 ...
流形（维基中文版）
图形跟班
08-10 9595
文章转自：流形 版权归原作者！
流形介绍(Manifolds: A Gentle Introduction)
撒旦先生的博客
07-02 3903
这篇博客在讲述切向量与切空间时太过简略，以至于把我困住，甚至让我的大脑内部产生激烈的矛盾而头疼，于是借了本书《微分流形初步》(第二版，陈维桓)，加以辅助，才得以理解了切向量。
流形的简单知识
aihali的专栏
12-15 2125
1简介 流形(manifold)是指局部具有欧氏空间性质的空间，是欧氏空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧氏就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘结而成。     例如，人们曾经以为地球是平的。这是因为相对于地球来说，人类实在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。     像旅行的时候，会用平面的地图来指示方位。如果将整
流形-Manifold
qrlhl的博客
09-20 7765
流形，也就是 Manifold 。不知道你有没有为我在本文开头放上的那个地球的图片感到困惑？这是因为球面是一个很典型的流形的例子，而地球就是一个很典型的“球面”啦（姑且当作球面好啦）。 有时候经常会在 paper 里看到“嵌入在高维空间中的低维流形”，不过高维的数据对于我们这些可怜的低维生物来说总是很难以想像，所以最直观的例子通常都会是嵌入在三维空间中的二维或者一维流行。比如说一块布，可以把
对流形（Manifold）的最简单快速的理解
热门推荐
weixin_41855010的博客
06-23 2万+
文章目录引言：流形的初步概念流形的性质之一：连续性流形的性质之二：局部坐标转移性流形的性质之三： 可微性一些流形的例子1.闭合曲面2.克莱因瓶3.射影平面4.射影空间PnP^nPn5.Grassmann流形 引言：流形的初步概念 在学习李群的时候，我们会听到的第一句话就是“李群是群，同时也是流形（Manifold）”。第一次听到流形的时候，感觉这个名字很fashion，但是又非常疑惑，到底什么东西才是流形呢？带着这样的疑惑，我参考不少教材、书本、论文以及视频，都么有得到一个快速而准确的解释。直到看到了下面这
浅谈流形学习
开飞机的小毛驴儿
09-08 2173
转载自：http://blog.pluskid.org/?p=533&cpage=1#comments 此人写了一系列非常好的博客，强烈推荐。 总觉得即使是“浅谈”两个字，还是让这个标题有些过大了，更何况我自己也才刚刚接触这么一个领域。不过懒得想其他标题了，想起来要扯一下这个话题，也是因为和朋友聊起我自己最近在做的方向。Manifold Learning 或者仅仅 Manifold 本身通常
非流形结构是啥
最新发布
11-14
<think> 我们正在讨论非流形结构的定义。根据引用[1]，非流形几何是指不符合流形定义的几何结构，即局部不满足欧几里得空间性质的几何。常见的非流形情况包括：T型连接、孤立的边或点、两个以上的面共享一条边等[^1]。 引用[2]和[3]给出了流形的定义：流形是一个拓扑空间，它的每个点都有一个邻域与欧几里得空间中的一个开集同胚（即存在一个同胚映射）[^2][^3]。换句话说，在流形上，每个点附近的小区域都类似于我们熟悉的欧几里得空间（如平面、三维空间等）。 因此，非流形结构就是违反上述流形定义的几何结构。具体来说，在非流形结构中，存在某些点，其邻域无法与欧几里得空间中的开集同胚。常见的非流形情况包括： 1. **T型连接**：例如，两个面共享一条边，但第三个面仅共享这条边上的一个点（形成T字形）。在共享点处，其邻域无法被映射到二维欧几里得空间的开集（因为该点有三条边相连，而二维欧几里得空间中一个点的邻域边界应该是简单的闭合曲线）。 2. **多个面共享一条边**：在流形中，一条边最多只能被两个面共享（例如，多面体的每条边属于两个面）。如果一条边被三个或更多面共享，那么这条边上的点的邻域将无法与二维欧几里得空间的开集同胚（因为邻域会分裂成多个部分）。 3. **孤立的边或点**：即没有面与之相连的边或点。这些孤立的元素破坏了局部邻域的连续性，使得在该点附近无法找到与欧几里得空间同胚的邻域。 在三维空间中，一个流形表面应该满足：每一个点都有一个邻域同胚于二维圆盘（即二维欧几里得空间中的开集）。如果某个点不满足这个条件，那么这个几何体就是非流形的。 例如，考虑两个立方体共享一个顶点但不共享边或面（即一个顶点悬空地连接两个立方体）。在这个共享顶点处，其邻域由两个立方体的一部分组成，这个邻域不是单连通的（它有两个“分支”），因此无法与三维空间中的开集同胚（实际上，它甚至不满足二维流形的条件）。所以这是一个非流形结构。 在计算机图形学和CAD软件中，非流形结构通常被视为无效几何，因为它们会导致网格操作（如布尔运算、网格简化等）出现问题。 总结：**非流形结构**是指拓扑空间中存在至少一个点，其邻域无法与欧几里得空间的开集同胚的几何结构。常见的非流形情况包括T型连接、多个面共享一条边、孤立的边或点等[^1]。 §§相关问题§§ 1. 流形结构和非流形结构在CAD建模中的具体影响是什么？ 2. 如何检测和修复三维模型中的非流形几何？ 3. 非流形结构在有限元分析中会造成什么问题？ </think>### 非流形结构的定义 非流形结构（non-manifold geometry）是指**违反流形局部同胚性质的拓扑结构**。具体定义为： > 一个几何体被称为非流形，若存在至少一个点 $p$ 的邻域 $U_p$ 无法与欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的开集同胚。 #### 核心特征（根据引用[1][3]）： 1. **局部欧几里得性质缺失** 流形要求每个点都有邻域与 $\mathbb{R}^n$ 同胚（如曲面局部类似平面）[^3]，而非流形在特定点破坏了这一特性。 2. **典型非流形类型** [^1]： - **T型连接**：三个面共享一条边（例如两个墙面与地板在一条边上交汇）。 - **多面共享边**：一条边被两个以上面共用（如三个三角形共享一条边）。 - **孤立元素**：悬空的边或点（如一条边仅一端连接面）。 - **自交几何体**：实体自我穿透（如两个立方体仅共享一个顶点）。 #### 数学描述： 设拓扑空间 $M$，若存在点 $p \in M$ 使得： $$ \nexists \text{ 开集 } U_p \subset M \text{ 和同胚映射 } \phi: U_p \to V \subseteq \mathbb{R}^n $$ 则 $M$ 是非流形的[^2][^3]。 #### 实例说明： - **流形示例**：球面——任意点邻域可展开为平面（局部同胚于 $\mathbb{R}^2$）。 - **非流形示例**（图1）： - **T型连接**：两个立方体共享一条边，第三个立方体仅接触该边中点（红点邻域类似"T"形，不与 $\mathbb{R}^3$ 同胚）[^1]。 - **孤立边**：一条边两端未连接任何面（蓝点邻域离散，不与 $\mathbb{R}^2$ 同胚）。 ```mermaid graph LR A[非流形结构] --> B[T型连接] A --> C[多面共享边] A --> D[孤立边/点] A --> E[自交几何体] B -->|示例| F[三个面共享一条边] C -->|示例| G[三个三角形共享一条边] D -->|示例| H[悬空边端点] ``` #### CAD中的意义： 在三维建模中，非流形结构会导致网格操作失败（如布尔运算、网格划分），因其破坏了局部拓扑一致性[^1]。例如有限元分析要求流形网格以保证物理模拟的准确性。
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