费马小定理

费马小定理

费马小定理可以表示为：$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，其中$p$是质数，$a$是任意整数，且$a$不是$p$的倍数。

费马小定理证明

费马小定理表明，如果$p$是一个质数，$a$是任意整数，且$a$不是$p$的倍数，那么$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

方法一：归纳法

基础情况

当$a=1$时，显然有$1^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

归纳假设

假设对于某个正整数$k$，有$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

归纳步骤

证明$a^{k+1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

• 根据归纳假设，$a^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。
• 两边同时乘以$a$，得到$a^{k+1}\equiv a(\mathrm{mod}p)$。
• 由于$a$不是$p$的倍数，根据模运算的性质，$a\equiv a(\mathrm{mod}p)$显然成立。
• 结合上一步，有$a^{k+1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

方法二：利用欧拉定理

费马小定理实际上是欧拉定理的一个特例。欧拉定理表明，如果$n$和$a$是互质的正整数，那么$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，其中$\phi (n)$是小于$n$且与$n$互质的正整数的个数。  
  
当$n$是质数$p$时，$\phi (p)=p-1$，因此欧拉定理变为$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，这正是费马小定理的表述。