快速幂qmi

模板题 快速幂

【暴力解法】

每次循环输出a^k%p，时间复杂度O(n)。

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,p;
        long long res=1;
        cin>>a>>b>>p;
        while(b--)
            res = res * a %p;
        cout<<res<<endl;
    }
}

【基本思路】

时间复杂度是O(log n) 

【Reminder】

1.b&1就是判断b的二进制表示中第0位上的数是否为1,若为1,b&1=true,反之b&1=false

2.每次运算都要 %p ，为了防止溢出

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int qmi(int a,int k,int p){
    int res=1;
    while(k){//从低位到高位
        if(k&1) res=(ll)res*a%p;
        k>>=1;//判断k的二进制下一位
        a=(ll)a*a%p;
    }
    return res;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        int a,k,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&k,&p);
        printf("%d\n",qmi(a,k,p));
    }
    return 0;
}

模板题 快速幂求逆元

【基本概念】

1.逆元

当 ax≡1(modb)， x即为 a 在mod b 意义下的逆元。
逆元的数学符号是 inv ，a 在mod b 意义下的逆元记作 inv(a,b)。注意不要写反了。
简单来说逆元就是在mod某个数意义下的倒数例如5x≡1（mod3），x=2是满足10=1（mod3），所以称2是5在mod3意义下的逆元。
2.同余定理（≡）

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
记作 a≡b (mod m)
读作 a同余于b模m，或读作a与b对模m同余。
例如 26≡2 (mod 12)

3.费马小定理(Fermat’s little theorem)

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。
费马小定理规定了p一定为一个质数，所以a和p一定互质，那么双方在modp的意义下同时除a可得
a^(p-2) ≡1/a (mod p) ，也就是a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

【基本思路】

 【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int qmi(int a,int k,int p){
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=(ll)res*a%p;
        k>>=1;
        a=(ll)a*a%p;
    }
    return res;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        int a,p;
        scanf("%d%d",&a,&p);
        int res=qmi(a,p-2,p);
        if(a%p!=0) printf("%d\n",res);
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}