二分图ovo

【概念】 

在一张图中，如果能够把全部的点分到两个集合中，保证两个集合内部没有 任何边 ，图中的边只存在于两个集合之间，这张图就是二分图。

换句话说，二分图中不存在连接同一集合的不同点的边。

Forexample：

 

【常用算法】

1.染色法（判断一个图是否为二分图）

2.匈牙利算法（求二分图的最大匹配数）

模板题1 染色法判定二分图

【分析】

1.首先，对任意一个没有被染色的点染色。

2.然后判断其相邻的顶点是否染色。

如果没有，则染上相反的颜色；

如果已经染色且与原点的颜色相同，说明与二分图的定义存在矛盾，则该图不是二分图。

3.以上过程可以用bfs或dfs实现（染色默认染成1和2）。

Attention：无法使用两种颜色为奇数顶点个数的图染色。

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,M=200010;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int n,m;
int color[N];
void add(int a,int b){
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
bool dfs(int x,int c){
    color[x]=c;//将x点染成c颜色
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){//遍历相邻的点
        int j=e[i];
        if(!color[j]){//没有被染色
            if(!dfs(j,3-c)) return false;//将其染色并递归处理相邻点
        }
        else if(color[j]==c) return false;//一条边的两端点存在于同一个集合
    }
    return true;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    while(m--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b),add(b,a);
    }//无向图
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!color[i]){//没有被染色
            if(!dfs(i,1)){//将其染色
                flag=false;
            }
        }
    }
    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
}

模板题2 二分图的最大匹配 

【小知识】

匹配：在图论中，一个 “ 匹配 ” 是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替 路称为增广路（agumenting path）。

匈牙利算法（Hungarian algorithm）：图论中寻找最大匹配的算法，暂不考虑加权的最大匹配

 

【分析】

1.存图模板

int h[N],ne[N],e[N],idx;
//n1,n2分别是两个点集的点的个数
int n1,n2,m;
void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

//存边只存一边就行了，虽然是无向图，但是只需要遍历一边。
for(int i=0 ; i<n1;i++){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    add(a,b);
}

2.一个找对象的过程 

If the girl you want already has a boyfirend,then ask her boyfirend whether he could find another girl and leave this one for you !

TIP: 因为你要去问的都是男孩子，所以存边的时候，都是由男孩子指向女孩子

 

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510,M=1e5+10;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
bool st[N];
int match[N];//某点对应的boyfriend
int n1,n2,m;
void add(int a,int b){
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
bool find(int x){
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if(!st[j]){
            st[j]=true;
            if(match[j]==0||find(match[j])){//还没有boyfriend或者boyfriend有second choice
                match[j]=x;
                return true;//脱单
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n1>>n2>>m;
    while(m--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
    }
    int res=0;//最大匹配数
    for(int i=1;i<=n1;i++){
        memset(st,false,sizeof st);//初始化每一个都没有
        if(find(i)) res++;
    }
    cout<<res;
    return 0;
}