数论1.6 组合数学

原理

加法原理

若完成一件事的方法有 $n$ 类，其中第 $i$ 类方法包括 $m_i$种不同的方

法，且这种方法互不重合，则完成这件事有：$N={\sum }_{i=1}^n{m}_i$ （分

类完成）

乘法原理（分步计数原理）

若完成一件事需要 $n$ 个步骤，其中第 $i$ 个步骤有 $m_i$ 种

不同的完成方法，且这种步骤互不干扰，则完成这种事

共有：$N={\prod }_{i=1}^n{m}_i$ （分步完成）

抽屉原理（鸽巢原理）

把多于 $n$ 个的物体放到 $n$ 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不

少于两件。

推广

1. 将 $n$ 个物体，划分为 $k$ 组，那么至少存在一个分组，含有大于或等于$\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 个物品。
2. 把多于 $mn+1(n\ne 0)$ 个的物体放到 $n$ 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于 $m+1$ 的物体。

题目

Luogu P7107 天选之人

容斥定理

设 $U$ 中元素有 $n$ 种不同的属性，而第 $i$ 种属性称为 $P_i$，拥有属性 $P_i$ 的元素构成集合 $S_i$，那么$$|{\cup }_{i=1}^n{S}_i|=\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m-1}\sum _{a_i<a_{i+1}}|{\cap }_{i=1}^m{S}_{a_i}|$$

题目

Luogu P3197 [HNOI2008]越狱
Luogu P6298 齿轮
Luogu P6600 「EZEC-2」字母
Luogu P6692 出生点

排列基础

定义

一般地，从 $n$ 个不同的元素中，取出 $m(m\le n)$ 个元素

按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素

的一个线排列，线排列的个数叫做排列数，用符号 $P_n^m$表示

全排列

特别地，把 $n$ 个不同的元素全部取出按照一定的顺序排成一列，叫

做从 $n$ 个不同的元素的一个全排列，全排列的个数叫做全排列数，

用符号 $P_n^n$表示

排列数公式

$$P_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$
$$P_n^n=n!$$

组合基础

定义

一般地，从 $n$ 个不同的元素中，取出 $m(m\le n)$ 个元素

不考虑顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素

的一个非重组合（组合），非重组合的个数叫做非重组合数（组合数），用符号 $C_n^m$ 或 ${(}_m^n)$ 表示

公式

1. 组合数公式 $$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
2. 帕斯卡公式 $$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$$

$C_n^m$ 可以从两种状态转移：
1.从前 $n-1$ 个元素中取出 $m-1$ 个，然后选走第 $n$ 个，即 $C_{n-1}^{m-1}$
2.从前 $n-1$ 个元素中取出 $m$个，不选走第 $n$ 个，即$C_{n-1}^m$
由加法原理，得 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$，即杨辉三角形

3. $$C_n^m=C_n^{n-m}$$

显然从 $n$ 中选 $m$ 个等同于从 $n$ 中取 $n-m$个

盒子与球问题

组合数学问题中，我们通常可以将问题转化为盒子与球的模型来简

化问题。

模型

有 $n$ 个相同\不同 的球，放进 $m$ 个 相同\不同 的盒子里，盒子

允许\不允许 为空，求方案数。

解法

1. 有 $n$ 个不同 的球，放进 $m$ 个 不同 的盒子里，盒子 允许 为空，求方案数。

对于每一个球来说，有 $m$ 种放法，根据乘法原理，得 $$m^n$$
这种排列即相异元素可重排列

隔板法

在讲下列解法之前，总结一个经典解法：

对于有 $n$ 个相同 的球，放进 $m$ 个 不同 的盒子里这种问题，我们可以用隔板法来解决。

2. 有 $n$ 个相同 的球，放进 $m$ 个 不同 的盒子里，盒子 不允许 为空，求方案数。

我们可以把这 $n$ 个球排成一列，放进 $m$ 个不同的盒子里等同于将这一列球划分成 $m$ 个区域。则我们可以用隔板来划分这 $m$ 个区域。则有 $m-1$ 个隔板，隔板可以放的位置即两个球之间的间隙，则间隙数量为 $n-1$个。则问题转化成从 $n-1$ 个间隙中选 $m-1$个，不考虑顺序，即$$C_{n-1}^{m-1}$$

3. 有 $n$ 个相同 的球，放进 $m$ 个 不同 的盒子里，盒子 允许 为空，求方案数。

此问题可以由问题$2$推来。如果在每个盒子里放入一个球，即加了 $m$ 个球，则每个盒子不可能为空，那么问题就转化成了问题$2$。即$$C_{n+m-1}^{m-1}=C_{n+m-1}^n$$

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4. 有 $n$ 个相同 的球，放进 $m$ 个 相同 的盒子里，盒子 允许 为空，求方案数。

设 $f[i][j]$ 为 $i$ 个球放入 $j$ 个盒子里的方案，则有两种情况：

1. 存在一个盒子不放球，方案数为 $f[i][j-1]$
2. 所有盒子都放球，方案数为 $f[i-j][j]$

根据加法原理，得到递推式$$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j](1\le i\le n,1\le j=min(i,j)\le m)$$
则边界 $f[0][0]=1$，$f[n][m]$ 即为答案

5. 有 $n$ 个相同 的球，放进 $m$ 个 相同 的盒子里，盒子 不允许 为空，求方案数。

与问题$4$类似。
还是设 $f[i][j]$ 为 $i$ 个球放入 $j$ 个盒子里的方案，则有两种情况：

1. 存在一个盒子只有一个球，方案数为 $f[i-1][j-1]$
2. 所有盒子都有一个球以上，则方案数为 $f[i-j][j]$

根据加法原理，得到递推式$$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j](1\le i\le n,1\le j=min(i,j)\le m)$$
则边界 $f[0][0]=1$，$f[n][m]$ 即为答案

6. 有 $n$ 个不相同 的球，放进 $m$ 个 相同 的盒子里，盒子 不允许 为空，求方案数。

设 $f[i][k]$ 为 $i$ 个球放入 $j$ 个盒子里的方案，则对于第 $i$ 个球来说有两种情况：

1. 有一个空盒且放入这个空盒，则方案数为 $f[i-1][j-1]$
2. 没有空盒则可放入任意一个盒里，则方案数为 $j\ast f[i-1][j]$

根据加法原理，得到递推式$$f[i][j]=f[i-1][j-1]+j\ast f[i-1][j](1\le i\le n,1\le j=min(i,j)\le m)$$
则边界 $f[0][0]=1$，$f[n][m]$ 即为答案
此类数即为第二类斯特林数

7. 有 $n$ 个不相同 的球，放进 $m$ 个 相同 的盒子里，盒子 允许 为空，求方案数。

与问题$6$类似。
考虑$1-(n-1)$ 个盒子为空的情况，则 $f[n][m]=f[n][1]+f[n][2]+\dots \dots +f[n][m-1]$
则边界 $f[n][1]=1$，$f[n][m]$ 即为答案
此类数即为贝尔数

8. 有 $n$ 个不相同 的球，放进 $m$ 个 不相同 的盒子里，盒子 不允许 为空，求方案数。

与问题$6$相似（不能说一模一样，只能说毫无差别）
因为盒子不同，所以最后要乘盒子的全排列，即$$f[n][m]\ast A_m^m$$