bzoj 2763: [JLOI2011]飞行路线

Description

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

Input

数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。

第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
$(0\leq s,t< n)$

接下来有 $m$ 行，每行三个整数，$a,b,c$，表示存在一种航线，能从城市a到达城市$b$，或从城市b到达城市a，价格为c。(0<=a,b

Output

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

Sample Input

5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

Sample Output

8

HINT

对于30%的数据,2<=n<=50,1<=m<=300,k=0;

对于50%的数据,2<=n<=600,1<=m<=6000,0<=k<=1;

对于100%的数据,2<=n<=10000,1<=m<=50000,0<=k<=10.

Source

---

solution

• 我们改变一下求最短路时 $dis$ 数组的状态，令 $dis[i][j]$ 表示起点到 $i$ 号点用了 $j$ 次免费机会的最短路

  • 那么显然对于一个点 $u$ 他连出去的所有点 $v$ 都可以这么来更新

  • 假设在 $u$ 点已经用掉了 $sum$ 次免费机会

  • $dis[v][sum]=min(dis[v][sum],dis[u][sum]+edge[i].w)$，也就是 $u->v$ 时不使用免费机会

  • $dis[v][sum+1]=min(dis[v][sum+1],dis[u][sum])$，也就是$u->v$时使用免费机会，当然这样更新的前提是还有免费机会可用，也就是 $sum<k$

  • 所以我们再跑最短路时，这样更新 $dis$ 数组就好了

  • 最后，$ans=min\left\{ dis[t][i]|i\in[0,k]\right\}$

  code

  #include<queue>
  #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  
  template<typename T>
  void input(T &x) {
      x=0; T a=1;
      register char c=getchar();
      for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())
          if(c=='-') a=-1;
      for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
          x=x*10+c-'0';
      x*=a;
      return;
  }
  
  #define MAXN 10010
  #define MAXK 15
  #define MAXM 50010
  
  struct Edge {
      int u,v,w,next;
      Edge(int u=0,int v=0,int w=0,int next=0):
          u(u),v(v),w(w),next(next) {}
  };
  
  Edge edge[MAXM<<1];
  int head[MAXN],cnt;
  
  void addedge(int u,int v,int w) {
      edge[++cnt]=Edge(u,v,w,head[u]);
      head[u]=cnt;
      return;
  }
  
  struct Data {
      int x,k;
      Data(int x=0,int k=0):
          x(x),k(k) {}
  };
  
  int n,m,k;
  int dis[MAXN][MAXK];
  bool inq[MAXN][MAXK];
  queue<Data> q;
  
  #define inf 2147483647
  
  int spfa(int s,int t) {
      for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=0;j<=k;j++)
              dis[i][j]=inf;
      dis[s][0]=0;
      q.push(Data(s,0));
      inq[s][0]=true;
      while(!q.empty()) {
          Data now=q.front();
          int u=now.x,sum=now.k;
          q.pop();
          inq[u][sum]=false;
          for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) {
              int v=edge[i].v;
              if(dis[u][sum]+edge[i].w<dis[v][sum]) {
                  dis[v][sum]=dis[u][sum]+edge[i].w;
                  if(!inq[v][sum]) {
                      q.push(Data(v,sum));
                      inq[v][sum]=true;
                  }
              }
              if(sum<k&&dis[u][sum]<dis[v][sum+1]) {
                  dis[v][sum+1]=dis[u][sum];
                  if(!inq[v][sum+1]) {
                      q.push(Data(v,sum+1));
                      inq[v][sum+1]=true;
                  }
              }
          }
      }
      int ans=inf;
      for(int i=0;i<=k;i++)
          ans=min(ans,dis[t][i]);
      return ans;
  }
  
  int main() {
      input(n),input(m),input(k);
      int s,t;
      input(s),input(t);
      s++,t++;
      for(int i=1;i<=m;i++) {
          int u,v,w;
          input(u),input(v),input(w);
          u++,v++;
          addedge(u,v,w),
          addedge(v,u,w);
      }
      printf("%d\n",spfa(s,t));
      return 0;
  }