bzoj 2763: [JLOI2011]飞行路线

最新推荐文章于 2020-06-03 18:16:38 发布

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图论——最短路

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本文介绍了一种解决旅行中寻找最经济飞行路线的问题。通过调整最短路径算法中的状态表示，考虑免费乘坐特定数量航班的情况，实现了从起点到终点的最低成本路径计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

Input

数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。

第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
$(0\leq s,t< n)$

接下来有 $m$ 行，每行三个整数， $a,b,c$ ，表示存在一种航线，能从城市a到达城市 $b$ ，或从城市b到达城市a，价格为c。(0<=a,b

Output

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

Sample Input

Sample Output

HINT

对于30%的数据,2<=n<=50,1<=m<=300,k=0;

对于50%的数据,2<=n<=600,1<=m<=6000,0<=k<=1;

对于100%的数据,2<=n<=10000,1<=m<=50000,0<=k<=10.

Source

solution

我们改变一下求最短路时 $dis$ 数组的状态，令 $dis[i][j]$ 表示起点到 $i$ 号点用了 $j$ 次免费机会的最短路

那么显然对于一个点 $u$ 他连出去的所有点 $v$ 都可以这么来更新
假设在 $u$ 点已经用掉了 $sum$ 次免费机会
$dis[v][sum]=min(dis[v][sum],dis[u][sum]+edge[i].w)$ ，也就是 $u->v$ 时不使用免费机会
$dis[v][sum+1]=min(dis[v][sum+1],dis[u][sum])$ ，也就是 $u->v$ 时使用免费机会，当然这样更新的前提是还有免费机会可用，也就是 $sum<k$
所以我们再跑最短路时，这样更新 $dis$ 数组就好了
最后， $ans=min\left\{ dis[t][i]|i\in[0,k]\right\}$

code

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

template<typename T>
void input(T &x) {
    x=0; T a=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())
        if(c=='-') a=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
        x=x*10+c-'0';
    x*=a;
    return;
}

#define MAXN 10010
#define MAXK 15
#define MAXM 50010

struct Edge {
    int u,v,w,next;
    Edge(int u=0,int v=0,int w=0,int next=0):
        u(u),v(v),w(w),next(next) {}
};

Edge edge[MAXM<<1];
int head[MAXN],cnt;

void addedge(int u,int v,int w) {
    edge[++cnt]=Edge(u,v,w,head[u]);
    head[u]=cnt;
    return;
}

struct Data {
    int x,k;
    Data(int x=0,int k=0):
        x(x),k(k) {}
};

int n,m,k;
int dis[MAXN][MAXK];
bool inq[MAXN][MAXK];
queue<Data> q;

#define inf 2147483647

int spfa(int s,int t) {
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            dis[i][j]=inf;
    dis[s][0]=0;
    q.push(Data(s,0));
    inq[s][0]=true;
    while(!q.empty()) {
        Data now=q.front();
        int u=now.x,sum=now.k;
        q.pop();
        inq[u][sum]=false;
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) {
            int v=edge[i].v;
            if(dis[u][sum]+edge[i].w<dis[v][sum]) {
                dis[v][sum]=dis[u][sum]+edge[i].w;
                if(!inq[v][sum]) {
                    q.push(Data(v,sum));
                    inq[v][sum]=true;
                }
            }
            if(sum<k&&dis[u][sum]<dis[v][sum+1]) {
                dis[v][sum+1]=dis[u][sum];
                if(!inq[v][sum+1]) {
                    q.push(Data(v,sum+1));
                    inq[v][sum+1]=true;
                }
            }
        }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=0;i<=k;i++)
        ans=min(ans,dis[t][i]);
    return ans;
}

int main() {
    input(n),input(m),input(k);
    int s,t;
    input(s),input(t);
    s++,t++;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int u,v,w;
        input(u),input(v),input(w);
        u++,v++;
        addedge(u,v,w),
        addedge(v,u,w);
    }
    printf("%d\n",spfa(s,t));
    return 0;
}