本文深入探讨了极限理论中一个经典问题：为什么当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的极限等于自然对数的底e。通过运用等价无穷小定理和对数函数的性质，给出了详细的数学证明过程。
1. 为什么 lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e n→∞lim(1+n1)n=e?
证明：
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
=
lim
n
→
∞
e
n
l
n
(
1
+
1
n
)
=
e
lim
n
→
∞
n
l
i
n
(
1
+
1
n
)
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}e^{nln(1+\frac{1}{n})}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nlin(1+\frac{1}{n})}
n→∞lim(1+n1)n=n→∞limenln(1+n1)=en→∞limnlin(1+n1)
根据等价无穷小定理，
lim
n
→
∞
l
n
(
1
+
1
n
)
∼
1
n
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}ln(1+\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n}
n→∞limln(1+n1)∼n1,因此上试化简为：
=
e
lim
n
→
∞
n
1
n
=
e
=e^{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\frac{1}{n}} = e
=en→∞limnn1=e
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