SPOJ 4491 Primes in GCD Table

最新推荐文章于 2019-06-19 12:53:51 发布

Nemaleswang

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分类专栏： SPOJ 数论-莫比乌斯反演、莫比乌斯函数小技巧-分块优化小技巧-预处理、前缀和

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本文介绍了一种高效计算特定范围内两个整数的最大公约数（GCD）为质数的整数对数量的方法。通过枚举质数并利用莫比乌斯函数简化计算过程，实现了快速求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：Primes in GCD Table

题目大意：这道题跟BZOJ2820是一样的，不过没有权限号，就上SPOJ交去了,实际上题目就是给你n,m求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x,y)为质数有多少对

题思路：如果gcd(x,y)这个质数给定了，是不是就很好求，然后我们想到可以去枚举这些素数，然后运算（T成傻逼）这个时候我们需要简化一点运算，我们可以先反演出这个公式没问题 $f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})\frac{n}{d}*\frac{m}{d}$
再令 $x = p,d = p*i$
然后可得 $ans=\sum_{isprime(p)}^n \sum_i^n ( \frac{n}{ip})(\frac{m}{ip})\mu(i)$
再令 $T=ip$ ,那么就有 $ans=\sum_T^n ( \frac{n}{T})(\frac{m}{T}) \sum_{p|T且isprime(p)} \mu(\frac{T}{p})$
然后预处理后面那一块的前缀和就好了,具体情况看代码

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7+10;

ll prime[maxn],mob[maxn],vis[maxn],sum[maxn],cnt;

void Mobius(){
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(mob,0,sizeof(mob));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mob[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(ll i = 2;i < maxn; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
            mob[i] = -1;
        }
        for(ll j = 0;j < cnt&&i*prime[j] < maxn;j++){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mob[i*prime[j]] = -mob[i];
            else{
                mob[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(ll i = 0;i < cnt;i++)
        for(ll j = 1;prime[i]*j <= maxn;j++)
            sum[prime[i]*j] += mob[j];
    for(ll i = 1;i <= maxn;i++)
        sum[i] = sum[i-1]+sum[i];
}

ll cal(ll n,ll m){
    if(n > m) swap(n,m);
    ll ans = 0,j;
    for(ll i = 1;i <= n;i = j+1){
        j = min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans += (sum[j]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}

int main(){
    Mobius();
    ll T,n,m;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",cal(n,m));
    }
    return 0;
}