Mondriaan's Dream--状压dp

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本文探讨了一个n*m矩形用1*2长方形填充的所有可能方案数的计算问题，通过二进制表示和动态规划算法，详细解析了如何避免冲突并确保连续0为偶数的方法。

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/POJ-2411

题目大意

给定一个n*m的矩形，用1*2的长方形填充矩形（填满），问有多少种方案数。

分析

从图中可以看到，当我们把横着的长方形放完时（阴影部分），竖着的长方形只能按部就班的放，所以只考虑横着放长方形的方案数。我们用二进制表示放了长方形的部分（从上往下），例如图中，第0列就是100。假设现在放到第i列，那么第i列可以放那几行呢？首先不能跟i-1列的行有冲突，其次，要让连续的0是偶数个，因为小长方形是1*2的。假设i列放的行用j表示，上一列用k表示，想要不冲突，那么必须j&k==0，连续偶数个0，就是j | k以后，连续的0必须是偶数个。

我的代码是从0列开始的，所以最后结果是dp[m][0]。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 12, M = 1 << 12;
int n, m;
ll dp[N][M];
bool vis[M];
int main()
{
	while(~scanf("%d %d",&n, &m))
	{
		if(n == 0 && m == 0) break;
		memset(dp, 0, sizeof dp);
		for(int i = 0; i < (1 << n); i++)//预处理那些数的二进制中，连续0都是偶数个 
		{
			vis[i] = 1;
			int cnt = 0;
			for(int j = 0; j < n; j++)
			{
				if((i >> j) & 1)
				{
					if(cnt & 1) vis[i] = 0;
					cnt = 0;
				}
				else
					cnt++;
			}
			if(cnt & 1) vis[i] = 0;
		}
		dp[0][0] = 1;
		for(int i = 1; i <= m; i++)
		{
			for(int j = 0; j < (1 << n); j++)
			{
				for(int k = 0; k < (1 << n); k++)
				{
					//不能跟i-1列的行有冲突，其次，放完以后还必须得让连续0是偶数个 
					if((j & k) == 0 && vis[j | k])
						dp[i][j] += dp[i - 1][k];
				}
			}
		}
		printf("%lld\n",dp[m][0]);
	}
	return 0;
}