NOIP 2011 计算系数快速幂+组合数

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快速幂

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本文介绍了一种利用二项式定理求解特定形式的多项式展开后xn*ym项系数的方法，并给出了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给定一个多项式 $(by+ax)^k$ ，请求出多项式展开后 $x^n*y^m$ 项的系数。

输入格式：

输入文件名为factor.in。

共一行，包含5 个整数，分别为 a ，b ，k ，n ，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。

输入样例：

1 1 3 1 2

输出样例：

题解

首先根据二项式定理，我们可以得到 $(a+b)^n=\sum\limits_{r=0}^{n}{C_n^ra^{n-r}}b^r$ ，因为题目中要求说是求 $(by+ax)^k$ 展开后 $x^ny^m$ 的系数，
我们设 $A=ax,B=by$ .则 $(ax+by)^k=(A+B)^k$ ,
套入二项式定理就可以得到
$(A+B)^k=\sum\limits_{r=0}^{n}{C_n^r A^{n-r}B^r}$ ,
把 $A=ax,B=by$ 代入就可以得到
$(ax+by)^k=\sum\limits_{r=0}^{n}{C_n^r (ax)^{n-r}(by)^{r}}=\sum\limits_{r=0}^{n}{C_n^ra^{n-r}b^r} x^{n-r}y^r$ ，
先求出组合数，然后用快速幂就可以求出系数了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define ll long long
const int MAXN=1002;
ll c[MAXN][MAXN];
int n,m,a,b,k;
using namespace std;
void Init()
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j]%10007+c[i-1][j-1]%10007)%10007;
        }
    }
}
ll qsm(ll a,ll b)
{
    ll sum=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1) 
        sum=(sum*a)%10007;
        a=a*a%10007;
        b>>=1;
    }
    return sum%10007;
} 
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    Init();
    printf("%lld",(c[k][m]*(qsm(a,n)%10007*qsm(b,m)%10007))%10007);
    return 0;
}