如何找到连续子数组的最大和：Kadane 算法详解

在算法问题中，最大子数组和问题是一个经典问题。给定一个包含正数和负数的数组，任务是找到一个连续子数组，使得其元素之和最大。本文将介绍解决这一问题的两种常见方法：Kadane 算法和动态规划，并提供 JavaScript 实现。

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问题描述

给定一个数组 arr，例如 arr = [1, -2, 3, 4, -9, 6]，我们需要找到一个连续子数组，使得其元素之和最大。例如，对于上述数组，最大子数组和为 [3, 4, -9, 6]，其和为 4。

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方法一：Kadane 算法

Kadane 算法是一种高效的解决方案，时间复杂度为 (O(n))，空间复杂度为 (O(1))。其核心思想是通过遍历数组，动态计算当前子数组的最大和，并在遍历过程中更新全局最大和。

算法步骤：

1. 初始化两个变量：maxSum（全局最大和）和 tempSum（当前子数组和）。
2. 遍历数组中的每个元素：
   • 将当前元素加到 tempSum 中。
   • 如果 tempSum 大于 maxSum，则更新 maxSum。
   • 如果 tempSum 小于 0，则将其重置为 0（因为负数会拖累后续子数组的和）。
3. 返回 maxSum。

JavaScript 实现：

function getMaxSubSum(arr) {
  let maxSum = 0;
  let tempSum = 0;

  for (let item of arr) {
    tempSum += item;
    maxSum = Math.max(tempSum, maxSum);
    if (tempSum < 0) tempSum = 0;
  }

  return maxSum;
}

let arr = [1, -2, 3, 4, -9, 6];
console.log(getMaxSubSum(arr)); // 输出: 7

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方法二：动态规划

动态规划是另一种解决最大子数组和问题的方法。其核心思想是通过维护一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大子数组和。

算法步骤：

1. 初始化状态数组 dp，其中 dp[0] 为 arr[0]（如果 arr[0] 大于 0，否则为 0）。
2. 遍历数组中的每个元素：
   • 计算 dp[i] 的值：dp[i] = Math.max(arr[i], arr[i] + dp[i - 1])。
   • 如果 dp[i] 小于 0，则将其重置为 0。
3. 返回 dp 数组中的最大值。

JavaScript 实现：

function getMaxSubSum(arr) {
  if (!arr.length) return 0;

  let dp = new Array(arr.length);
  dp[0] = arr[0] > 0 ? arr[0] : 0;

  for (let i = 1; i < arr.length; i++) {
    dp[i] = Math.max(arr[i], arr[i] + dp[i - 1]);
    if (dp[i] < 0) dp[i] = 0;
  }

  return Math.max(...dp);
}

let arr = [1, -2, 3, 4, -9, 6];
console.log(getMaxSubSum(arr)); // 输出: 7

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方法对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
Kadane 算法	(O(n))	(O(1))	适用于空间要求严格的场景
动态规划	(O(n))	(O(n))	需要记录每个位置的最大和时使用

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总结

• Kadane 算法 是一种简洁高效的解决方案，适合大多数场景。
• 动态规划 提供了更直观的状态转移思路，适合需要记录中间结果的场景。