一个矩阵的所有子矩阵最大和问题、Kadane算法

Preface

  今天早上刷微博,看到LeetCode中国微博发了这样一条状态:

这里写图片描述

  已经好久没做题练练手了,于是想试试。LeetCode上,该题目的地址为: https://leetcode.com/problems/max-sum-of-sub-matrix-no-larger-than-k/

Analysis

  想了一上午,也没想出什么头绪。后来我看 LeetCode 上有不少人已经做出提交了。并且,在discuss页面里,有人公布了详细的解释与代码。
  我看了一下,他这个解法是基于Kadane Algorithm了。于是,先得学习一下什么是Kadane Algorithm

Kadane Algorithm

  Kadane Algorithm 用于解决对一列数组中,求其中子序列的和最大的值。Kadane 的代码很多,各种语言的也都有,我下面摘取这个网站上的C++代码,理解分析一下:

#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;

#define MAX(X, Y) (X > Y) ? X : Y
#define POS(X) (X > 0) ? X : 0

int kadane(int* row, int len)
{
    int x;

    //拿数组的第一个元素出来,若其大于0,则另sum = row[0]
    //若其小于或等于0,则令sum = 0,
    int sum = POS(row[0]); 
    int maxSum = INT_MIN; //INT_MIN是<climits>文件定义的,代表int类型最小值:-2147483648
    for (x = 0; x < len; ++x)
    {   
        //Kadane 算法的核心部分
        //maxSum用于记录最大的子序列和,并每一次与sum进行比较,若当sum比之前的maxSum要大,则将现在的sum值赋予maxSum
        //sum每加一个值,跟0进行一次比较,若加完row[x]都小于0了,那么就直接将sum置为0,接着开始一个新的子序列,并进行求和
        maxSum = MAX(sum, maxSum);
        sum = POS(sum + row[x]);
    }
    return maxSum;
}

int main()
{
    int N;
    cout << "Enter the array length: ";
    cin >> N;
    int arr[N];
    cout << "Enter the array: ";
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    cout << "The Max Sum is: "<<kadane(arr, N) << endl;
    return 0;
}


2D Kadane Algorithm

  由于我们这一题是二维矩阵,并不是一维数组。因此,要将 kadane 算法扩展到2维上。同样作者也推荐了一个视频,是位印度哥们,讲解的非常好。视频在 YouTube 上,地址:https://www.youtube.com/watch?v=yCQN096CwWM,保证听几遍就懂。
  下面我就他讲解的,用 Excel 表格展示这个二维 kadane 算法的过程。

  如图下面所示的矩阵,黄色黄色部分, 4×5 的大小。先定义几个变量:
  1. 变量 L : 代表遍历时,当前子矩阵的左边位置
  2. 变量 R : 代表遍历时,当前子矩阵的右边位置
  3. 右边浅绿色,与矩阵的 row 相同的临时存储区,是将当前的 L 列、 L+1 列、……、 R1 列、 R 列,进行列相加,然后再用 kadane 算法判断相加得到的列数组(此时即为一维数组了,可以用一般意义上的 kadane 算法),求此时元素连续和最大的子数组,并与之前的最大值进行比较(这一点会在下面的过程中体现出来);
  4. 变量 currentSum : 当前 LR 组成的子矩阵(注意:这个子矩阵的“行数量“与原来大矩阵相同),其中这个矩阵的子矩阵,产生的最大的和;
  5. 变量 maxSum : 纪录目前遍历下来的最大的子矩阵和;
  6. 变量 maxLeft : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的左边位置;
  7. 变量 maxRight : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的右边位置;
  8. 变量 maxUp : 纪录目前遍历下来的最大子矩阵的上面位置;
  9. 变量 ma

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