快速找到两个自然数之间的所有素数：埃拉托斯特尼筛法详解

在数学和计算机科学中，素数（质数）是一个重要的概念。素数是指大于1的自然数，且只能被1和它本身整除的数。如何高效地找到两个自然数之间的所有素数呢？本文将介绍一种经典的算法——埃拉托斯特尼筛法，并通过 JavaScript 代码实现。

---

什么是埃拉托斯特尼筛法？

埃拉托斯特尼筛法（简称埃氏筛）是一种用于查找素数的经典算法。它的基本思想是从小到大遍历所有自然数，依次筛去每个素数的倍数，剩下的未被筛去的数就是素数。

算法步骤：

1. 列出所有数：从2开始，列出所有需要筛选的自然数。

2. 标记倍数：从第一个素数（2）开始，标记其所有倍数为非素数。

3. 重复筛选：找到下一个未被标记的数（即素数），并标记其所有倍数。

4. 终止条件：当筛选的素数的平方大于最大数时，算法终止，剩下的未被标记的数即为素数。

---

示例：找出25以内的所有素数

我们以25以内的数为例，详细说明埃氏筛的执行过程：

1. 列出所有数

    2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,252,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25
   

2. 筛选2的倍数：

   记录素数2，从 2^2^ = 4 开始，划去 2 的倍数：4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24。
   

3. 筛选3的倍数：

    记录素数3，从 32=932=9 开始，划去3的倍数：9, 12, 15, 18, 21, 24。
   

4. 筛选5的倍数：

    记录素数5，从 52=2552=25 开始，划去5的倍数：25。
   

5. 终止筛选：

    下一个素数是7，但 72=49>2572=49>25，因此算法终止。
    剩下的未被标记的数即为素数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。
   

---

JavaScript 实现

以下是埃氏筛的 JavaScript 实现代码：

function findPrimes(n) {
  let signs = new Array(n).fill(false); // 初始化标记数组
  let primes = [];

  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    if (!signs[i - 1]) { // 如果当前数未被标记为非素数
      primes.push(i); // 记录素数
      for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
        signs[j - 1] = true; // 标记当前素数的倍数
      }
    }
  }

  return primes;
}

let n = 25;
console.log(findPrimes(n)); // 输出: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23]

代码解析：

1. 初始化标记数组：signs 数组用于标记非素数，初始值为 false。

2. 遍历筛选：从 2 开始遍历，如果当前数未被标记为非素数，则记录为素数，并标记其所有倍数。

3. 优化：从 i² 开始标记倍数，因为小于 i² 的倍数已经被更小的素数标记过了。

---

算法复杂度

• 时间复杂度：埃氏筛的时间复杂度为 O(nloglogn)，是一种非常高效的素数筛选算法。
• 空间复杂度：需要额外的 O(n) 空间来存储标记数组。