关于同构关系的一些证明(1)

最新推荐文章于 2024-05-14 22:20:00 发布

Myriad_Dreamin

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分类专栏：数学抽象代数文章标签：数学抽象代数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Myriad_Dreamin/article/details/83029893

本文探讨了群论中的同构关系，包括正规子群、商群的概念和性质。通过一系列定理如第一、第二、第三同构定理，阐述了同态映射在群结构保持中的作用，并给出了群的子群与商群之间的一一对应关系。

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定义一种集合乘法 $xy∣x∈X,y∈Y}XY=\{xy|x\in X,y\in Y\}$ .
那么我们可以看见若 $H⩽GH\leqslant G$ ,则 $h∣h∈H}=HHH=\{hh'|h,h'\in H\}=\{h|h\in H\}=H$ .
特别的,若集合中只有一个元素,那么可以这么写 $ah∣h∈H}\{a\}H=aH=\{ah|h\in H\}$ .
现在我们可以用这种乘法书写了.
$\text{Theorem 1 }$ $H◃GH\triangleleft G$ ,当且仅当 $g H = H g$ .
证明: $H=g^{-1}Hg$ ,显然正规子群的共轭仍然是原来的正规子群.
$\text{Lemma }$ 若 $H◃GH\triangleleft G$ ,那么任意集合在集合乘法中与 $H$ 可交换.
$aH∣a∈G},其中H◃G.\text{Definition }定义G/H=\{aH|a\in G\},其中H\triangleleft G.$
$G/H\text{Theorem 2 }G/H$ 是群,称作商群.
$H$ 是 $G / H$ 的幺元, $a H$ 的逆元是 $a^{-1}H$ ,若 $aH,bH∈G/H,aH,bH\in G/H,$ 那么 $aHbH=abHH=(ab)H∈G/HaHbH=abHH=(ab)H\in G/H$ ,也容易验证结合律,从而 $G / K$ 是群.
显然 $G / H$ 的每一个元素都是群 $G$ 的一个陪集,由拉格朗日定理商群的阶 $[G:H]=∣G∣∣H∣\displaystyle [G:H]=\frac{|G|}{|H|}$ .
$\text{Example }$ $Z/<m>=ZmZ/\left<m\right>=Z_m$