Random Vectors and the Variance-Covariance Matrix

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#python #算法 #机器学习

于 2022-07-11 15:46:22 首次发布
本文介绍了随机向量及其方差协方差矩阵的概念。定义了随机向量的期望，并展示了期望的线性性质。接着，定义了方差协方差矩阵，并通过几个命题展示了其计算公式和对称性质。

Random Vectors and the Variance-Covariance Matrix.pdf
多维变量概率论
Definition 1. 随机向量 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x p ) T \mathbf x = (x_1,x_2,...,x_p)^T x=(x1​,x2​,...,xp​)T . 为了方便起见，将其定义为列向量或者将列矩阵 n × 1 n\times 1 n×1.

Expectation

Definition 2. The expectation E x E\mathbf x Ex of a random vector x = [ x 1 , x 2 , . . . , x p ] T \mathbf x = [x_1, x_2,...,x_p]^T x=[x1​,x2​,...,xp​]T is given by
E x = [ E x 1 E x 2 . . . E x p ] . E\mathbf x = \begin{bmatrix} Ex_1 \\ Ex_2 \\ ...\\ Ex_p \end{bmatrix}. Ex=⎣⎢⎢⎡​Ex1​Ex2​...Exp​​

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pca(主成分分析技术)_主成分分析技巧
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Towards Real-Time Photorealistic Rendering: Challenges and Solutions
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ABSTRACT A growing number of real-time applications need graphics with photorealistic quality, especially in the field of training (virtual operation, driving and flightsimulation), but also in the ar...
用r语言实现：Generate a random sample of size n = 100 from a three-dimensional (r = 3) Gaussian distribution, where one of the variables has very high variance (relative to the other two). Carry out PCA on these data using the covariance matrix and the correlation matrix. In each case, find the eigenvalues and eigenvectors, draw the scree plot, compute the PC scores, and plot all pairwise PC scores in a matrix plot. Compare results.
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pc_scores_cov <- as.matrix(data) %*% eig_cov$vectors pairs(pc_scores_cov) # 使用相关系数矩阵进行主成分分析 cor_mat <- cor(data) eig_cor <- eigen(cor_mat) screeplot(eig_cor$values, type = "b") pc_...
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In vector mode, all input signals must be either vectors or row vectors (1-by-M matrices) or column vectors (M-by-1 matrices) or a combination of vectors and either row or column vectors. When all inputs are vectors, the output is a vector. If any of the inputs are row or column vectors, the output is a row or column vector, respectively.
11-27
<think> 我们正在处理一个技术描述文本的翻译任务。用户提供的英文原文描述了在向量模式下输入信号的类型限制以及输出向量的类型规则。 根据用户要求，回答必须包含： 1. 专业准确的中文翻译 2. 关键术语解析表（中英对照） 3. 应用场景说明 4. 最后必须输出3-5个相关问题，以“§§相关问题§§”开头，且问题之间用换行分隔（每个问题单独一行） 注意：用户提供的原文如下： "In vector mode, all input signals must be either vectors or row vectors (1-by-M matrices) or column vectors (M-by-1 matrices) or a combination of vectors and either row or column vectors. When all inputs are vectors, the output is a vector. If any of the inputs are row or column vectors, the output is a row or column vector, respectively." 我们需要将其翻译成专业的中文，并按照要求进行解析。 </think>### 技术术语翻译 **原文：** In vector mode, all input signals must be either vectors or row vectors (1-by-M matrices) or column vectors (M-by-1 matrices) or a combination of vectors and either row or column vectors. When all inputs are vectors, the output is a vector. If any of the inputs are row or column vectors, the output is a row or column vector, respectively. **专业翻译：** 在向量模式下，所有输入信号必须是向量、行向量（1×M矩阵）、列向量（M×1矩阵），或是向量与行/列向量的组合。当所有输入均为向量时，输出为向量。 若存在行向量或列向量输入，则输出分别为行向量或列向量。 #### 关键术语解析 | **英文术语** | **中文释义** | **数学表达** | |------------------------|--------------------------|---------------------------| | Vector mode | 向量模式 | 多维信号处理场景 | | Row vector | 行向量 | $[a_1, a_2, ..., a_M]$ | | Column vector | 列向量 | $\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_M \end{bmatrix}$ | | 1-by-M matrix | 1行M列矩阵 | 行向量的矩阵表示 | | M-by-1 matrix | M行1列矩阵 | 列向量的矩阵表示 | #### 维度兼容性规则 1. **同类型输入** - 纯向量输入 → 向量输出 ```matlab % MATLAB示例 output = concat(vector1, vector2) % 输出为向量 ``` 2. **混合类型输入** - 含行向量 → 强制输出行向量 ```python # Python示例（NumPy） output = np.hstack([row_vector, vector]) # 输出变为行向量 ``` 3. **工程意义** - 确保内存连续性和计算兼容性 - 避免维度不匹配导致的运算错误
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