线性回归(linear regression)

本文详细介绍了线性回归的似然估计与最小二乘求解方法,探讨了如何通过最小化残差平方和来确定最佳参数。此外,还讨论了岭回归作为正则化的手段,以及在实际应用中如何选择正则参数。以Prostate数据集为例,展示了最小二乘和岭回归在数据分析中的应用。

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一、似然估计

我们要做的是对一些数据进行参数拟合, 然后进行预测的过程。 在这个过程谁都想要得到最好的参数,并且能够抗干扰性强一些,因此这里就要考虑各种求参数的方法了。 

对于线性回归,其一般形式为

                

一般都会有截距项w0, 因此在进行估计的时候,我们都会对数据x , 在首列添加1.  进而估计参数w0. 


拟合毕竟是估计, 总要存在残差的,因此残差的分布我们经常假设为

线性回归可写为: 

其中 ,  

对于基函数的形式,我们可以进行扩展 :

            , 这时我们仍然认为这是 关于w 的线性回归。

进行参数求解自然想到极大似然估计, 即

             

假设数据是iid, 这样似然函数为:

极大似然可等价写作极小负log 似然损失 (NLL)

         

我们将 概率模型  带入似然函数中有:

         

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