[带权并查集] 学习一个

（生活有点小烦，希望在写代码的时候能够纯粹一点。）

先作一点铺垫：

从以前的认识来看，并查集（Union-Find Sets）可以实现分类的目的。

她提供两种操作：1.Find-查询根节点   2.Union-合并（两个元素间的关系将两个不同集合合并为一个，保证了关系的传递性）

值得注意的是并查集有两个优化的方法——

1. 为了防止退化成链，合并两个集合时，将高度小的的树接在高度高的树上。（卡这一点的题目我还没有遇到过...）

2. 重要的是路径压缩；我用的模版里，在查询的时候进行了路径压缩——将根节点到查询节点整条链上的结点都接到根节点上（因为是递归，所以是从根节点开始压缩路径的）

（因为合并在查询之后，再怎样防止退化都不能阻止高度增加。）

（#事实上这种写法在压缩路径前任何幺蛾子结构都可能出现，数据结构的并查集应该时时保证结构高度只有两层吧？）

int find(int i){
    if(f[i]!=i) f[i]=find(f[i]);   //递归————从树根开始压缩路径
    return f[i];
}
void unin(int a,int b){
    ta=find(a);
    tb=find(b);
    if(ta!=tb) f[ta]=tb;
}

现在每个节点只有一个属性——f[i]，代表的是他的父亲结点，我们每次压缩路径（更改父节点）就是在维护f[i]的值指向集合的根节点。

带权并查集就是在每个节点定义权值v[i]，这个值代表的是和父节点的关系。并在1.查询（压缩路径）和2.合并 的时候维护这个值。／／根据题意写更新的算式

此时，同一集合不代表同一种类，而是维护了元素间的关系。

换句话说，在同一集合的两结点，他们的关系就是已知的（根据权值判断是否错误）；如果不在同一集合，那就更新关系（默认正确）。

（并查集通过合并的方法来区别不同的集合，带权并查集是一种思路，种类并查集是另一种思路）

然后现在只有一个问题，就是我如何找出一个集合中任意两点之间的关系（毕竟每个节点只存有和父亲节点的关系）——利用路径压缩，两个节点会被接到同一个根节点上（此时权值也已经更新为和根节点的关系）；这样两个节点之间只有一个（或者没有）中间节点，很容易推出需要查询的两结点间的关系。

以下是两道练习题：

POJ1182 食物链

题意：

动物分成三类ABC，相互的关系是A吃B，B吃C，C吃A的循环关系；

n个动物，m次询问。 

“r a b”为一次询问，r==1时ab为同类动物，r==2a吃b

1.a、b大于n 或者 2.自己吃自己 或者 3.和已知关系冲突的询问 是错误询问，最后输出错误询问次数。

思考：

把所有关系都存起来，还能根据传递性推出任意两点间的关系，这就是关系并查集啊。需要构造的是一种循环吃的三元关系，毛估估想一下，已知两个节点对同一节点的关系是可以推出这两个节点的关系的（那就可以用带权并查集）。定义权值为“被父节点吃-2，吃父节点-1，和父节点同类-0”

之前说要在1.查询（压缩路径）和2.合并 的时候维护权值，很重要的是——我要在三层结构中完成对权值的维护。（为什么要在三层结构进行维护呢，因为查询的时候压缩路径是从根节点开始压缩的）就是说，已知和父亲的权值和父亲对爷爷的权值，将我现在对父亲的权值更新为我对爷爷的权值，因为我压缩路径直接接到爷爷结点了。我是列举了各种情况凑出了一个更新权值的公式——v[i]=(v[i]+v[f[i]])%3;  

所以，查询（压缩路径）实现如下：

int find(int i){
    if(f[i]!=i){
        int root=find(f[i]);  //先递归到根节点，保证是三层结构开始更新权值
        v[i]=(v[i]+v[f[i]])%3;
    }
    return f[i];
}

判断权值是否副符合：自己推公式吧，反正压缩路径之后就是两层的结构。

还有值得一提的是——合并操作:因为路径压缩后只有两层结构：a-->ta    b-->tb两棵树，要将ta接到tb上步骤是：求出ta对a的权值，ta接到b上，再接到tb上：

v[ta]=( ( (3-v[a])%3 + (r-1) )%3 +v[b] )%3;

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define maxn 50005
using namespace std;
int n,k;
int r,a,b;
int ans;
int f[maxn],v[maxn];
void init(int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        f[i]=i;
        v[i]=0;
    }
}
int find(int i){
    if(f[i]!=i){
        int root=find(f[i]);  //先递归调用到根节点
        v[i]=(v[i]+v[f[i]])%3;
        f[i]=root;
    }
    return f[i];
}
void merge(int a,int b){
    int ta=find(a);
    int tb=find(b);
    //此时经过路径压缩，a节点已经是set中深度为2的节点了
    if(ta==tb){
        if(r==1 && v[a]!=v[b]) ans++;
        else if(r==2 && (v[a]+2)%3!=v[b]) ans++;
    }
    else {
        v[ta]=( ( (3-v[a])%3 + (r-1) )%3 +v[b] )%3;
        f[ta]=tb;
    }
}

int main(){
    cin>>n>>k;
    init(n);
    ans=0;
    while(k--){
        scanf("%d%d%d",&r,&a,&b);
        if(a>n || b>n) ans++;
        else if(r==2 && a==b) ans++;
        else merge(a,b);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

SHUOJ 1880

题意：

武林中共有 N 个人，编号分别为 1~N，有 M条命令，两种格式：

1 x y：编号为 x和 y的两个人所在的帮派合并了，x 的帮派的帮主归于 y 的门下，y 的等级比 x 的帮派的帮主高一级（如果 x 和 y 已经在一个帮派中，则跳过这条命令。）；

2 x y：请回答编号为 x和 y的两个人是否是自己人。

思路：

权值为和父亲的等级差距

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
int r,x,y;
int ans;
int f[maxn],v[maxn];
 
void init(int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        f[i]=i;
        v[i]=0;
    }
}
int find(int i){
    if(f[i]!=i){
        int root=find(f[i]);
        v[i]+=v[f[i]];
        f[i]=root;
    }
    return f[i];
}
 
 
int main(){
    cin>>n>>m;
    init(n);
    ans=0;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&r,&x,&y);
        int tx=find(x);
        int ty=find(y);
        if(r==1 && ty!=tx){
            f[tx]=ty;
            v[tx]+=v[y]-1;
        }
        else if(r==2){
            if(tx!=ty) printf("No\n");
            else if(ty==tx)
                printf("Yes %d\n",v[x]-v[y]);
        }
    }
    return 0;
}

以上，带权并查集入门吧。

今天icpc world final