算法导论24.1-2，24.1-3,24.1-4

• 24.1-2
  证明推论24.3：
  设$G=(V,E)$是一带权重的源结点为s的有向图，其权重函数为$w:E\rightarrow R$。假定图G不包含从源节点s可以到达的权重为负值的环路，则对于所有结点$v\in V$，存在一条从源结点到结点v的路径当且仅当BELLMAN-FORD算法终止时有$v.d<\infty$。
  证明：
  $1^。$充分性
  如果存在一条从源结点到结点v的路径，那么该路径上所有的结点的d属性都是更新过的并小于$\infty$。所以BELLMAN-FORD算法终止时必存在$\delta(s,v)<\infty$。根据引理24.2知道，$v.d=\delta(s,v)<\infty$。
  $2^。$必要性
  初始化时，任意结点v，$v.d=\infty$。在BELLMAN-FORD算法执行的过程中，$v.d$是单调减少的，而它的每次更新都发生在$u.d+w(u,v)<v.d$时，此时的$v.\pi=u$。因为$v.d<\infty$，所以v在前驱子图中是有祖先的。
  又因为前驱子图是一棵以s为根的树，因此在前驱子图中存在一条$s\leadsto v$路径。而图G又包含前驱子图，因此图G中存在一条源结点到结点v的路径。
• 24.1-3
  问题描述：
  假设给定$G=(V,E)$是一带权重且没有权重为负值的环路的有向图，对于所有的结点$v\in V$，从源结点s到结点v之间的最短路径中，包含边的条数的最大值为m。请对算法BELLMAN-FORD进行简单修改，可以让其在m+1遍松弛操作之后终止，即使m不是事先知道的一个数值。
  问题求解：
  在BELLMAN-FORD算法的2-4行执行过程中，如果某一次循环结束时$v.d$的值跟本次循环开始时$v.d$的值相比不发生改变时，此次循环即为第m+1次。对算法修改如下：
  BELLMAN-FORD(G,w,s)

INITALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
for i=1 to |G.V|-1
  for each v in G.V
     save v.d to T
  for each edge(u,v) in G.E
    RELAX(u,v,w)
  for each v in G.V
    if v.d != T[].d
      goto h
h:for each edge(u,v) in G.E
  if v.d>u.d+w(u,v)
    return FALSE
return TRUE

• 24.1-4
  问题描述：
  修改Bellman-Ford算法，使其对于所有结点v来说，如果从源结点s都结点v的一条路径上存在权重为负值的环路，则将$v.d$的值设置为$-\infty$。
  问题求解：
  在BELLMAN-FORD(G,w,s)的第5-7行中如果$s\leadsto v$存在权重为负值的环路，将会执行第7行。所以只需把第7行修改为$v.d=-\infty$即可。