算法导论17.1-3

• 问题描述
  假定我们对一个数据结构执行一个由$n$个操作组合成的操作序列，当$i$严格为2的幂时，第$i$个操作的代价为$i$,否则代价为1。使用聚合分析确定每个操作的摊还代价。
• 问题求解
  假设$c_i$是第$i$个操作的代价，则
  $$\begin{equation} c_i=\left\{ \begin{aligned} i \quad\quad i是2的幂 \\ 1\quad\quad\quad 其他 \\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$
  $n$个操作的代价是
  $$\sum_{i=1}^nc_i\leq n+\sum_{j=0}^{\lceil lg n\rceil}\frac{n}{2^j}\\ \leq n+n+\frac n2+\frac n4+...+2+1\\ = n+\frac{n-\frac 12}{1-\frac 12}\\ =n+(2n-1)\\ <3n$$
  使用聚合分析确定每个操作的摊还代价为$O(n)/n=O(1)$。在上面的求解过程中用到了等比数列前$n$项和公式
  $$a_1\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}$$