最大连续和

问题描述:

给出一个长度为n的序列,求出最大连续和。就是找出1<=i<=j<=n，使得尽量大。

方法一：直接枚举i，j，找出连续和最大的i，j。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int A[1000],n;
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> A[i];
	int sum = A[1];
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		for (int j = i; j <= n; j++){
			int cnt = 0;
			for (int k = i; k < j; k++)cnt += A[k];
			sum = max(sum,cnt);
		}
	}
	cout << sum << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

此算法的O(n)=n3,因此虽然好理解，但是效率非常慢。

方法二：由于,因此可以分别求出每个元素的前n项和，然后用于方法一类似的枚举方法。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int A[1000], n;
int S[1000],maxsum;
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> A[i];
	maxsum=S[1] = A[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++)S[i] = S[i - 1] + A[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		for (int j = i; j <= n; j++)
			maxsum = max(maxsum,S[j]-S[i-1]);
	}
	cout << maxsum << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

方法三：分治法

分治算法一般分为如下3个步骤：

划分问题：把问题的实例划分成子问题。

递归求解：递归子问题。

合并问题：合并子问题的解得到原问题的解。

流程图如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int A[1000], n, sum;

int maxsum(int x, int y)//返回[x,y)之间的最大连续和
{
	if (y - x == 1)return A[x];
	int m = x + (y - x) / 2;
	int maxs = max(maxsum(x,m),maxsum(m,y));
	int v, L = A[m-1],R=A[m];
	v = 0;
	for (int i = m - 1; i >= x; i--)L = max(L, v+=A[i]);
	v = 0;
	for (int i = m; i < y; i++)R = max(R, v += A[i]);
	return max(maxs,L+R);
}
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> A[i];
	cout << maxsum(1,n+1) << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

简单来说，假设只有当上下限i、j分别输入某区间的前部分和后部分时才说该连续和属于该区间。因此连续和可能在本区间，或者在本区间的前子区间，或者在本区间的后子区间。三种方法中方法三的时间渐进复杂度最短，是T(n)与nlogn同阶。