2018 UESTC Training for Dynamic Programming | 命运石之门

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题意：给你$n$个饼干的体积，每连续$x$个饼干能合成的魔法石的体积是$(V_x+x-1-P)^2$,问魔法石的最小体积。

我们把式子稍微写一下就可以发现转移方程就是

$$\begin{aligned} dp[i]=min ( dp[j]+(sum[i]-sum[j]-1-p)^2) \end{aligned}$$

但是如果直接暴力去转移的话时间复杂度明显是不可接受的，所以我们在这里采用了数形结合的方法做了一些优化，这种动态规划的方式也叫斜率优化$dp$

对于形如$dp[i]=min(dp[j]+C)$这样转移方程的动态规划问题

假设在$dom$内存在某个三元组满足$i>j>k$

如果$dp[i]=min(dp[j]+C)$比$dp[i]=min(dp[k]+C)$更优

此时从$i->j$肯定比$i->k$更优

我们对本题的转移方程做一下变形便可以得到

---

$$\begin{aligned} dp[i]+(sum[i]-sum[j]-(1+m))^2<=dp[k]+(sum[i]-sum[k]-(1+m))^2 \end{aligned}$$

---

$$\begin{aligned} dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2+2*(1+m)(sum[k]-sum[j])<=2*(sum[k]-sum[j])*sum[i] \end{aligned}$$

---

$$\begin{aligned} \frac{dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2+2*(1+m)(sum[k]-sum[j])}{2*(sum[k]-sum[j])}<=sum[i] \end{aligned}$$

---

当满足如上不等式的时候，从$i转移到$肯定比$i转移到k$更优

我们设$Y[i]=dp[i]+sum[i]^2-2*(1+m)sum[i],X[i]=2*sum[i]$

所以上面的式子就可以变成

---

$$\begin{aligned} \frac{Y_j-Y_k}{X_j-X_k}<=sum[i] \end{aligned}$$

---

我们换成图形描述就是

这样一看就很明显了，这就是维护一个上凸包。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<limits.h>
#include<string.h>
#include<map>
#include<list>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;

#define inf int(0x3f3f3f3f)
#define mod int(1e9+7)
#define eps double(1e-6)
#define pi acos(-1.0)
#define lson  root << 1
#define rson  root << 1 | 1
#define pb push_back


ll dp[50005];

ll sum[50005];

ll q[50005];

ll head,tail,n,m;

ll getDP(int i,int j)
{
    return dp[j]+(sum[i]-sum[j]-1-m)*(sum[i]-sum[j]-1-m);
}

ll getUP(int j,int k) 
{
    return (dp[j]+sum[j]*sum[j]+2*(m+1)*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k]+2*(m+1)*sum[k]);
}

ll getDOWN(int j,int  k)
{
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}


ll a[500005];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i];
    sum[0]=dp[0]=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        sum[i]+=i;
    head=tail=0;
    q[tail++]=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        while(head+1<tail &&  getUP(q[head+1],q[head])<=(sum[i])*getDOWN(q[head+1],q[head]))
            head++;
        dp[i]=getDP(i,q[head]);
        while(head+1<tail && getUP(i,q[tail-1])*getDOWN(q[tail-1],q[tail-2])<=getUP(q[tail-1],q[tail-2])*getDOWN(i,q[tail-1]))
            tail--;
        q[tail++]=i;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}