论文阅读笔记——Deformable Radial Kernel Splatting

DRK 论文

DRK（可变形径向核）的核心创新正是通过极坐标参数化与切平面投影，对传统3D高斯泼溅（3D-GS）进行了多维度的优化。

传统 3DGS 依赖径向对称的高斯核，只能表示平滑、各向同性的形状（球体、椭圆体），DRK 通过可学习的多径向基能灵活变形为任意凸多边形或复杂平面体；高斯核的固有平滑性使其逼近锐利边界时需大量堆叠高斯函数，DRK 通过 L1/L2 范数组合和自适应分段重映射，独立控制边缘锐度。同时当参数退化为正交基时，等价于高斯核。

DRK

三维场景参数定义为： { μ , q , , s k , θ k , η , τ , o , s h } \{\mu,q,,s_k,\theta_k,\eta,\tau,o,sh\} {μ,q,,sk​,θk​,η,τ,o,sh} 其中 $\mu \in R^3,q\in SO(3),o,sh$ 为 3D-GS 参数（位置、旋转、不透明度、球谐系数）， { s k , θ k } k = 1 K \{s_k,\theta_k\}^{K}_{k=1} {sk​,θk​}k=1K​ 为径向基长度与极角，$\eta \in (0,1),\tau \in (-1,1)$ 为边界曲率与锐度调节。
径向基通过极坐标下的 K 个控制点 { s k , θ k } \{s_k,\theta_k\} {sk​,θk​} 定义核的形状，在基 k 和基 k+1 之间的点$({\theta }_k<\theta <{\theta }_{k+1})$，定义相对角距离（角度的归一化至 $[0,\pi ]$）：$\Delta {\theta }_k=\frac{(\theta -{\theta }_k)\pi }{{\theta }_{k+1}-{\theta }_k}$ ，代入 $\alpha$ 合成有：
$$\alpha =o\cdot exp\left(-\frac{r_2^2}{2}\left(\frac{1+cos(\Delta {\theta }_k)}{2s_k^2}+\frac{1-cos(\Delta {\theta }_k)}{2s_{k+1}^2}\right)\right).(1)$$

此公式在 $K=4，{\theta }_k=\frac{k\pi }{2},s_0=s_2=s_u,s_1=s_3=s_v$ 的情况下可退化为 2D-GS。

L1/L2 范数混合

在式（1）中尺度项 $\frac{1}{{\overline{s}}^2}=(\frac{1+cos(\Delta {\theta }_k)}{2s_k^2}+\frac{1-cos(\Delta {\theta }_k)}{2s_{k+1}^2})$ 确保径向端点的轮廓平滑性（当 $\Delta {\theta }_k=0/\pi ,\frac{d\overline{s}}{d\Delta {\theta }_k}=0$）。但这种 L2 范数天然生成圆锥曲线，难以表征直线，故选择 L2 范数与 L1 范数的混合。
在相邻径向端点 $e_i=(s_{i}cos{\theta }_i,s_{i}sin{\theta }_i)$ 和 $e_{i+1}$ 之间，对点 (u,v) 的 L1 范数计算为：
$$r_1=||{\left(\begin{array}{cc}{e}_i& e_i+1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)|{|}_1.(2)$$
采用权重因子 $\eta \in (0,1)$ 混合 L1 范数和 L2 范数，得到最终核函数：
$$\alpha =o\cdot \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\eta r_1^2+(1-\eta )\frac{r_2^2}{{\bar{s}}^2}\right)\right).(3)$$

分段边缘锐化

对于式（3）中 $g=\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\eta r_1^2+(1-\eta )\frac{r_2^2}{{\bar{s}}^2}\right)\right)$，定义锐化函数 $\Psi (g)$:
$$\Psi (g)=\{\begin{array}{cccc}\frac{1-\tau }{1+\tau }g& \mathrm{if}& 0& \le g<\frac{1+\tau }{4}\\ \frac{1+\tau }{1-\tau }g-\frac{\tau }{1-\tau }& \mathrm{if}& \frac{1+\tau }{4}& \le g<\frac{3-\tau }{4}(4)\\ \frac{1-\tau }{1+\tau }g+\frac{2\tau }{1+\tau }& \mathrm{if}& \frac{3-\tau }{4}& \le g\le 1\end{array}$$


如图，通过该锐化函数，梯度重分布，将（$g\in (0.25,0.75)$）向 $(0,1)$ 压缩，在 $\tau =1$ 时，形成阶跃函数；在 $\tau =-1$ 时，退化为原始平滑衰减。
最后得到 $\alpha =o\cdot \Psi (g)$

滤波

3D-GS 采用 EWA splatting 进行闭式高斯低通滤波，DRK 采取最大操作混合核函数与视角相关低通滤波器（在切平面内频率有界，正交视角下无界——DRK的每个图元是局部平面（由中心点μ和法向Rz定义的切平面），其几何细节仅在切平面内展开。）：
$$\tilde{\alpha }=\max (\alpha ,o\cdot \exp (-\frac{1}{2|r_d\cdot R_z{|}^2}(\frac{\Delta p_w^2}{s_l^2}+\frac{\Delta p_h^2}{s_l^2})))(5)$$

• $\Delta p_w,\Delta p_h$​：像素与投影核中心的图像空间距离
• $r_d\cdot R_z$​：视角相关缩放因子（rdrd​为视线方向，RzRz​为平面法向），在近平行视角时趋近于 0，系统强制进行强滤波，保证切平面内信号频率不超过采样极限。正交视角下 |rd·Rz|=1，滤波项简化为$exp(\frac{\Delta p_w^2}{s_l^2}+\frac{\Delta p_h^2}{s_l^2})$
• $s_l$​：滤波半径控制参数
  相比 EWA splatting 积分计算，该方式更快。

核函数优化

传统 3D-GS 会将 3D 高斯投影到 2D 平面，生成一个轴对齐包围盒，来判断哪些图像分块（tile）需要渲染该高斯，如果高斯的投影是高度各向异性（如非常细长），此方法会产生很多不需要渲染的空分快。
DRK 的核函数由多个径向基定义，直接用 $s_k$ 剔除会不准确，因为不透明度和锐化参数会影响核的实际范围，故而引入校准半径 $s_k^c$：
$$s_k^c=s_k\sqrt{-\log \left({\Psi }^{-1}(\frac{e^{-3^2}}{o})\right)}.(6)$$
再用校准半径 $s_k^c$ 计算每个径向基的端点坐标：
$$v_k=\mu +s_k^c(\cos {\theta }_k{R}_x+\sin {\theta }_k{R}_y)(7)$$

深度排序优化

传统 3D-GS 仅依据高斯中心点 $\mu$ 进行排序，导致：1）同一高斯在不同视角下的渲染顺序可能矛盾；2）中心点 $\mu$ 不一定为最大密度区域。
DRK 提出由光线-核函数交点深度的排序策略：
$$r_t=\frac{(\mu -r_o{)}^T{R}_z}{r_d^T{R}_z}.(8)$$
其中 $R_z$ 为切平面法向量。在实际应用中，计算开销为 $O(K),k\le 8$ ，接近与 3D-GS 的 O(1)。

DRK 计算流程：

实验结果