【算法竞赛】杨辉三角 | 杨辉三角与组合数的关系 | 杨辉三角的算法应用 | c++代码实现公式获取杨辉三角位置的值

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MuShan_bit/article/details/122833631

杨辉三角是一种展示二项式系数的几何形式，它揭示了从n个元素中无序选取k个元素的组合数规律。通过杨辉三角的递推公式，可以计算出特定位置的二项式系数。此外，代码实现进一步展示了如何有效地获取杨辉三角的值，并验证了二项式定理。组合数公式提供了另一种计算组合数的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

杨辉三角详解

杨辉三角是什么?

杨慧三角是二项式系数在三角形中的一种集合排列!!

换一种说法: 杨辉三角是二项式系数, 通过数据三角形表示, 发现的数学规律.
在这里插入图片描述

杨辉三角与二项式系数联系

定义: 在数学里, 二项式系数, 或组合数, 是定义为形如 $1 + x)^n$ 展开后x的系数(其中n为自然数, k为整数)

那么一般二项式 $x + y)^n$ 的幂可用二项式系数记为 $CnrC^r_n$

通常来讲，二项式系数代表的是从n件物品中，无序地选取k件的方法总数.

证明二项式系数与组合数之间的联系:

假设n = 4, k = 2. 通过组合数公式可以得到组合数为 6.

假如我们把 $1 + x)^4$ 展开并标记每一个x, 就会得到:

$1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)(1+x_4)$
上式等于:
$1+x_1)⋯(1+x_4)=⋯+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4+⋯$

假如把标记去掉, 那么 $x^2$ 的系数正好是等于6, 与 $C_4^2$ 相符合

也就证明了： $1+x)^n$ 中 $x^k$ 的系数正好等于从n个元素中选取k个元素的组合数（ $CnkC^k_n$ ）.

在这里插入图片描述

杨辉三角代码实现的递推公式

$C [i] [j] = C [i - 1] [j] + C [i - 1] [j - 1];$

递推:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int, map<int, int> >mp;
int main()
{
    mp[0][0] = 1;
    //输入一个row, col表示待查找的行和列, 输出其对应杨辉三角的值
    int row, col; cin >> row >> col;
    for(int i = 1;i <= row; i++)
        for(int j = 1;j <= i; j++){
            mp[i][j]=mp[i - 1][j] + mp[i - 1][j - 1];
            if(i == row && j == col){ cout << mp[i][j]; return 0; }
        }
    return 0;
}

组合数公式:

$Cnm=Anmm!=n!m!(n−m)!C^m_n=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n!}{m!(n−m)!}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//求阶乘
int fun1(int num){
    int ans = 1;
    for(int i = 1;i <= num; i++){
        ans *= i;
    }
    return ans;
}
// 求组合数
int fun2(int a, int b){
    return fun1(a) / (fun1(a) * fun1(a - b));
}
int main()
{
    int row, col;
    cin >> row >> col;
    cout << fun2(row - 1, col - 1);
}