前缀和与差分

最新推荐文章于 2025-12-07 21:20:15 发布

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#算法

文章介绍了如何使用差分数组来高效处理区间修改问题，如在气球涂色问题中，通过计算前缀和并更新差分数组，将时间复杂度从O(mn)降低到O(m+n)。举例说明了如何应用此方法解决HDU1556中的气球涂色次数查询问题。

设D[]为差分数组，a[]为前缀和数组，有:
$\ D[i] = a[i] - a[i - 1]$
我们可以得到一个递推公式：
$\ a[i] = a[i - 1] + D[i]$
如何用差分数组记录区间修改？

为了把区间 [L,R] 内每个元素a[]都加上d，只需要对相应的D[]做以下操作：

D[L] += d
D[R + 1] -= d

差分的适当运用可以极大降低时间复杂度，将原先 m 次区间修改与查询的复杂度 O（mn），降低到O（m+n）

例题：hdu 1556
Problem Description
N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3…N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

Input 每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <=
N)。当N = 0，输入结束。

Output 每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 100005;
int a[MAX_N], D[MAX_N];
int main(){
    int n;
    while (~scanf("%d",&n)){
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(D, 0, sizeof(D));
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            int L, R;
            scanf("%d%d", &L, &R);
            D[L]++;
            D[R + 1]--; //修改差分区间
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            a[i] = a[i - 1] + D[i]; //差分，求前缀和a[],a[i]是气球i的值
            if(i != n){
                printf("%d ", a[i]);
            }
            else{
                printf("%d\n", a[i]);
            }
        }
    }
    return 0;
}