笔记：堆和优先队列

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#笔记 #c++ #算法 #数据结构 #学习

本文介绍了完全二叉树的概念及其在堆数据结构中的应用，包括大顶堆和小顶堆的性质，以及堆的插入和弹出操作，同时给出了C++代码实现。

好久没有写博客了┭┮﹏┭┮这几天感冒了，不过今天更新啦！

一、完全二叉树

要学习堆，首先我们得回顾一下完全二叉树，以下是一棵完全二叉树。

完全二叉树是一种特殊的二叉树结构，它的定义如下：

在完全二叉树中，除了最后一层的叶节点可能不满外，其他各层的节点都必须填满。
叶节点尽量都集中在树的左侧。
如果某个节点的右子树为空，则其左子树也必须为空。

完全二叉树中，从上到下、从左到右依次编号，可以得到节点的编号序列。对于任意编号为n的节点：

如果n=1，它是根节点；
如果n>1，其父节点编号为n/2（取整）；
如果2n <= 总节点数，其左子节点编号为2n；
如果2n+1 <= 总节点数，其右子节点编号为2n+1。

完全二叉树的特点使得它可以用数组来表示，数组的索引对应了节点的编号，数组中的值对应了节点的值。这种表示方法使得完全二叉树的操作更加高效。

这么多性质是不是非常头疼呢？

但是其实可以综合为图中的两个性质！

不过我们不一定要以1为起始节点，我们当然可以使用0作为根节点编号，此时左子树编号为2*i+1,右子树编号为2*i+2。但是我们会发现，这样如果使用编号去遍历二叉树子树的运算次数是4！但是以1作为根节点编号的二叉树子树的遍历运算次数为3！

所以我们说：以1为根节点编号的完全二叉树更优！

二、堆

现在，我们了解了完全二叉树的基础知识，可以进一步学习堆的知识了！

这边介绍两种最简单的堆：大顶堆和小顶堆。

①大顶堆

它满足以下性质：

堆中的任意父节点的值都大于或等于其子节点的值。
堆中的最大元素存储在根节点，也就是堆顶。

②小顶堆

它满足以下性质：

堆中的任意父节点的值都小于或等于其子节点的值。
堆中的最小元素存储在根节点，也就是堆顶。

三、堆的插入与弹出

1、堆的插入

堆的尾部插入调整

我们想在这个大顶堆中插入节点 13 ，如何操作呢？

首先在完全二叉树的末尾加入节点 13 ，如图所示：

我们依次去寻找它的父节点，如果比父节点大则交换，否则不变。

过程如下：

2、堆的弹出

堆的头部弹出调整

先弹出，将最后一个节点补到头部，再进行调整。

调整过程：找到父左右 三个节点最大的节点，如果不是父节点，则将父节点与之交换，否则不变。

四、优先队列

优先队列是一种特殊的队列，其中的元素具有优先级。元素的优先级可以是任意类型的，可以是整数、浮点数、字符串等。在优先队列中，元素按照优先级的顺序被访问和删除，而不是按照插入的顺序。

优先队列可以用于解决一些问题，如任务调度、最短路径问题等。在任务调度中，每个任务都有一个优先级，优先级高的任务会被优先执行；在最短路径问题中，每个节点都有一个权重，优先队列可以根据权重的大小来选择下一个要访问的节点。

代码实现：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define ROOT 1
#define FATHER(i) ((i)/2)
#define LEFT(i) ((i)*2)
#define RIGHT(i) ((i)*2+1)
#define cmp >
#define swap(a,b){ \
	__typeof(a) __c = (a); \
	(a) = (b); \
	(b) = __c; \
}
using namespace std;
typedef struct PriorityQueue{
	int *__data,*data;//连续的一段数组空间
	int size;//存储空间的大小
	int n;//当前存储元素数
}PriorityQueue;

PriorityQueue *initPQ(int size){
	PriorityQueue *p = new PriorityQueue;
	p->__data = new int[size];
	p->data = p->__data - 1;
	p->size = size;
	p->n = 0;
	return p;
}

int empty(PriorityQueue *p){
	return p->n == 0;
}
int full(PriorityQueue *p){
	return p->n == p->size;
}
int top(PriorityQueue *p){
	return p->data[ROOT];
}

void up_update(int *data,int i){

	if(i == ROOT) return;
	if(data[i] cmp data[FATHER(i)]){
		swap(data[i],data[FATHER(i)]);
		up_update(data,FATHER(i));
	}
}

void down_update(int *data,int i,int n){
	int ind;
	while(LEFT(i) <= n){
		ind = i;
		int l = LEFT(i);
		int r = RIGHT(i);
		if (data[l] cmp data[ind]) ind = l;
		if (r <= n && data[r] cmp data[ind]) ind = r;
		if (ind == i) break;
		swap(data[i],data[ind]);
		i = ind;
	}
	return;
}
int push(PriorityQueue *p, int x){
	if(full(p)) return 0;
	p->n += 1;
	p->data[p->n] = x;
	up_update(p->data,p->n);//进行向上调整
	return 1;
}

int pop(PriorityQueue *p){
	if(empty(p)) return 0;
	p->data[ROOT] = p->data[p->n];
	p->n -= 1;
	down_update(p->data,ROOT,p->n);//进行
	return 1;
}

void clearPQ(PriorityQueue *p){
	if(p == NULL) return;
	delete(p->__data);
	delete(p);
	return;
}
void output(PriorityQueue *p){
	printf("PQ(%d) :",p->n);
	for(int i = 1;i <= p->n;i++){
		printf("%d ",p->data[i]);
	}
	printf("\n");
	return;
}
int main(){
	int op,x;
	#define MAX_OP 100
	PriorityQueue *p = initPQ(MAX_OP);
	while (~scanf("%d",&op)){
		if(op == 1){
			scanf("%d",&x);
			printf("insert %d to priority_queue: \n",x);
			push(p,x);
			output(p);
		}else {
			printf("top : %d\n",top(p));
			pop(p);
			output(p);
		}
	}
	return 0;
}