组合数取合数mod

Lucas定理应用分析——大组合数取模 首先给出Lucas(卢卡斯)定理:     有非负整数A、B,和素数p,A、B写成p进制:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]。 则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])×C(a[n-1],b[n-1])×...×C(a[0],b[0]) mod p同余。 即:Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) , 阅读详情
using namespace std;
 
const int MAXN = 200005;
 
bool ispri[MAXN];
int prime[MAXN];
int priCnt;
 
void CalPrime()
{
    priCnt = 0;
    memset(ispri,false,sizeof(ispri));
 
    for(int i = 2;i < MAXN; ++i)
    {
        if(ispri[i] == false)
        {
            prime[priCnt++] = i;
            for(int j = i+i;j < MAXN; j += i)
                ispri[j] = true;
        }
    }
}
 
LL DivideByPrime(LL N,LL P)
{
    LL ans = 0;
 
    while(N)
        ans += N/P,N /= P;
 
    return ans;
}
 
LL QuickMod(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans = ans*a%m,b--;
        b >>= 1;
        a = a*a%m;
    }
    return ans;
}
 
//C(N,M) % P
LL CalCnmModP(LL N,LL M,LL P)
{
    LL ans = 1;
    for(int i = 0 ;i < priCnt && prime[i] <= N; ++i)
    {
        LL x = DivideByPrime(N,prime[i]);
        LL y = DivideByPrime(N-M,prime[i]);
        LL z = DivideByPrime(M,prime[i]);
 
        x -= (y+z);
 
        ans *= QuickMod(prime[i],x,P);
        ans %= P;
    }
    return ans;
}

组合数取模进阶:从Lucas定理到ExLucas算法详解 组合数取模是算法竞赛和数论编程中的基础问题,其核心在于高效计算C(n, m) mod p。当模数p为质数时,Lucas定理通过将n和m转换为p进制表示,将大规模问题分解为一系列可预处理的小规模组合数计算,实现了从O(n)到O(log_p n)的优化。这一原理在模数较小但n、m极大的场景下极具技术价值,例如在网格路径计数、排列组合问题中广泛应用。然而,当模数为合数时,经典Lucas定理失效,此时需要引入扩展Lucas算法。ExLucas算法结合质因数分解和中国剩余定理,通过剥离阶乘中的p因子,解决了合数模数下 阅读详情

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