红黑树详解-优快云博客

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前言

二叉查找树是最常用的一种二叉树，它支持快速插入、删除、查找操作，各个操作的时间复杂度跟树的高度成正比，理想情况下，时间复杂度是 O(logn)。不过，二叉查找树在频繁的动态更新过程中，可能会出现树的高度远大于 log2n 的情况，从而导致各个操作的效率下降。极端情况下，二叉树会退化为链表，时间复杂度会退化到 O(n)。要解决这个复杂度退化的问题，我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，也就是所谓的平衡二叉查找树。

很多书籍里，但凡讲到平衡二叉查找树，就会拿红黑树作为例子。不仅如此，在实际的开发工程中，很多用到平衡二叉查找树的地方都会用红黑树。有没有想过，为什么工程中都喜欢用红黑树，而不是其他平衡二叉查找树呢？

平衡二叉查找树

平衡二叉树的严格定义是这样的：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。从这个定义来看，完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。
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平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是AVL 树，它严格符合刚讲到的平衡二叉查找树的定义，即任何节点的左右子树高度相差不超过 1，是一种高度平衡的二叉查找树。

但是，很多平衡二叉查找树并没有严格符合上面的定义（即树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1），比如下面要讲的红黑树，它从根节点到各个叶子节点的最长路径，有可能会比最短路径大一倍。我们学习数据结构和算法是为了应用到实际的开发中的，所以没必要死抠定义。对于平衡二叉查找树这个概念，我们要从这个数据结构的由来，去理解“平衡”的意思。

发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是，解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。所以，平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。所以，如果我们现在设计一个新的平衡二叉查找树，只要树的高度不比 log2n 大很多（比如树的高度仍然是对数量级的），尽管它不符合我们前面讲的严格的平衡二叉查找树的定义，但我们仍然可以说，这是一颗合格的平衡二叉查找树。

红黑树

平衡二叉查找树其实有很多种类，比如：Splay Tree（伸展树）、Treap（树堆）等，但是每当提到平衡二叉查找树，听到的基本都是红黑树。它的出镜率甚至要高于“平衡二叉查找树”。红黑树的英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree。它是一种不严格的平衡二叉查找树，意思是，它的定义是不严格符合平衡二叉查找树的定义的。那红黑树究竟是怎么定义的呢？

顾名思义，红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。它是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉查找树，必须满足下面性质：

每个节点要么是黑色，要么是红色。
根节点是黑色的；
每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
任何相连的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的，每个红色结点的两个子结点一定都是黑色；
每个节点，从该节点到达其后代所有可达叶子节点的简单路径，都包含相同数目的黑色节点，从这个性质可以进一步推出，如果一个结点存在黑子结点，那么该结点肯定有两个子结点；

上图即为一颗简单的红黑树，其中Nil为叶子结点，并且它是黑色的。红黑树并不是一个完美的平衡二叉查找树，从上图可以看到，根结点P的左子树显然比右子树高，但左子树和右子树的黑结点的层数是相等的，也即任意一个结点到到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑色结点。所以我们叫红黑树这种平衡为黑色完美平衡。

针对上述第四点性质多做一点拓展，每个红色结点的两个子结点必须都是黑色，但是黑结点的子节点可以同时包含一个红结点和一个黑结点，如下图的F节点。
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为什么说红黑树是“近似平衡”的？

设计平衡二叉查找树的初衷，是为了解决二叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化得太严重。

二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比。一棵极其平衡的二叉树（满二叉树或完全二叉树）的高度大约是 log2n，所以如果要证明红黑树是近似平衡的，我们只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近 log2n 就好了。接下来，我们就一起来一步一步来推导红黑树的高度。

首先，我们来看，如果我们将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是多少呢？
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红色节点删除之后，有些节点就没有父节点了，它们会直接拿这些节点的祖父节点（即父节点的父节点）作为父节点。所以，之前的二叉树就变成了四叉树。前面红黑树的定义里有这么一条：从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。