规约算法-reduction

CUDA Samples上的例子,可是那个封装的优点太复杂,不适合初学者看,按照上面的方法实现了一下。如下

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>
#include "book.h"
#define SIZE 81920000
#define THREAD_NUM 512

__global__ void reduce1(float *a, float *c, int size)
{
        int i = threadIdx.x + blockDim.x * blockIdx.x;
        __shared__ float sdata[THREAD_NUM];
        sdata[threadIdx.x] = i < size ? a[i] : 0;
        __syncthreads();    

        int j = THREAD_NUM / 2;
        while (j != 0)
        {
                if (threadIdx.x < j)
                {
                        sdata[threadIdx.x] += sdata[threadIdx.x + j];
                }
                 __syncthreads();

                j /= 2;
        }


        if (threadIdx.x == 0)
        {
                c[blockIdx.x] = sdata[0];
        }
}


__global__ void reduce2(float *a, float *c, int size)
{
        int i = threadIdx.x + blockIdx.x * 2 * blockDim.x;
        __shared__ float sdata[THREAD_NUM];

        float sum = i < size ? a[i] : 0;

        if (i + blockDim.x < size)
                sum += a[i+blockDim.x];

        sdata[threadIdx.x] = sum;
        __syncthreads();

        int j = THREAD_NUM/2;
        while (j > 0)
        {
                if (threadIdx.x < j)
                        sdata[threadIdx.x] += sdata[threadIdx.x + j];
                __syncthreads();
                j /= 2;
        }

        if (threadIdx.x == 0)
      
### LLL算法的原理与实现 LLL(Lenstra-Lenstra-Lovász)算法是一种用于格基规约的经典算法,其目标是找到一组近似最优的短向量集合来表示给定的格。该算法的核心在于通过一系列变换使输入的一组线性无关向量变得更接近于正交状态。 #### 算法描述 LLL算法基于Gram-Schmidt正交化过程,并引入了一个称为Lovász条件的标准来评估当前基的质量。如果某个基不满足这个标准,则会执行交换或调整操作以改进它[^1]。具体来说: - **输入**: 一个整数格 \( \Lambda \) 的初始基 \( B = (b_1, b_2, ..., b_n) \),其中每个 \( b_i \in \mathbb{R}^m \)。 - **输出**: 经过规约后的基 \( B&#39; \),使得新基中的向量更短且彼此更加接近正交。 为了衡量基的好坏程度,定义了两个重要参数: 1. Gram-Schmidt系数:\( \mu_{i,j} = \frac{\langle b_j^\ast , b_i\rangle}{\|b_j^\ast\|^2}, j < i \)[^3]; 2. 向量长度平方:\( \|b_i^\ast\|^2 \),这里 \( b_i^\ast \) 表示第 \( i \)-个向量经过部分正交化的结果。 接着应用以下规则逐步优化原始基: - 对任意索引对 \( (i, j), j<i \),当发现对应的 \( |\mu_{i,j}|>\frac{1}{2} \) 时,更新 \( b_i := b_i-\text{round}(\mu_{i,j})b_j \); - 如果存在某位置违反Lovász条件即 \( ||b_k^\ast||^2<\delta(||b_{k+1}^\ast+\mu_{k+1,k}b_k^\ast)^2 \) (常取 \( \delta=\frac{3}{4} \)),则互换相邻两行并重新计算上述指标直至收敛为止[^4]。 #### 实现代码 以下是Python版本的一个简单实现例子: ```python import numpy as np def gram_schmidt(basis): basis = np.array(basis,dtype=float) m,n=basis.shape mu=np.zeros((n,n)) B=[basis[:,0]] for k in range(1,n): bk_star = basis[:,k].copy() for j in range(k): mu[k][j]=np.dot(basis[:,k],B[j])/np.linalg.norm(B[j])**2 bk_star -= mu[k][j]*B[j] B.append(bk_star) return B,mu def lll_reduction(basis,delta=0.75): n=len(basis[0]) k=1 while True: # Step 1: Size Reduction _,mu=gram_schmidt(basis) for j in reversed(range(k)): if abs(mu[k][j])>0.5: q=int(round(mu[k][j])) basis[:,k]-=q*basis[:,j] # Step 2: Lovasz Condition Check & Swap If Necessary B,_=gram_schmidt(basis) if np.linalg.norm(B[k])**2 >= delta*(np.linalg.norm(B[k]+mu[k+1][k]*B[k]))**2 : k+=1 if k==len(basis.T)-1: break else: temp=basis[:,k].copy() basis[:,k]=basis[:,k-1].copy() basis[:,k-1]=temp.copy() if k>1: k-=1 return basis.tolist() if __name__=="__main__": input_basis=[[1,-1,3],[1,0,5],[1,2,6]] reduced_basis=lll_reduction(input_basis) print(reduced_basis) ``` #### 性能分析 LLL算法的时间复杂度大约为O(n^4 log M),其中M代表输入数据的最大绝对值[^5]。尽管如此,在实际应用场景下它的表现仍然相当高效,尤其是在处理中小规模问题的时候尤为突出。
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