I. DEFINITION
上下界网络问题
- 每条边不仅有一个容量上限C，还有容量下限b；
- 像普通网络流一样，也要满足除源点汇点外的每一个点， i n x = o u t x in_x=out_x inx=outx
II. 无源点汇点上下界可行流（[LOJ]#115. 无源汇有上下界可行流）
因为没有源点和汇点，那么每一个点都需要保证流量守恒；
可行流的意思是可以分配出来，但不要求最大；
Solution:
- 对于每一个节点 x x x，流入的下界之和 i n x in_x inx,流出的下界之和 o u t x out_x outx,如果 i n x > o u t x in_x>out_x inx>outx，那么可理解为多流入的流量来自虚拟源点 s s s，反之流入 T T T
- 为了是每一个节点X的流入流出流量守恒，那么应该将较少的那一端的流量往上多分配一些，使得 i n x = o u t x in_x=out_x inx=outx,同时往上分配的容量不应该突破该条边的上限 C C C
- 跑一遍从 S S S到 T T T的最大流，如果最大流的流量等于 S S S连接所有边的流量之和
TIME COMPLEXITY
与
d
i
n
i
c
dinic
dinic时间复杂度相等
O
(
d
i
n
i
c
(
n
2
∗
m
)
)
O(dinic(n^2*m))
O(dinic(n2∗m))
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,S,T,cnt=0,maxflow,ans,tot=1,sum;
int head[maxn],dep[maxn],vis[maxn],in[maxn],out[maxn],b[maxn],c[maxn];
inline int read()
{
int s=0,f=1;
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9')
{
if (c=='-')
{
f=-1;
}
c=getchar();
}
while (c>='0'&&c<='9')
{
s=s*10+c-48;
c=getchar();
}
return s*f;
}
struct node
{
int from,to,next;
int val;
}edge[maxn];
inline void add(int x,int y,int z)
{
edge[++tot].next=head[x];
edge[tot].from=x;
edge[tot].to=y;
edge[tot].val=z;
head[x]=tot;
edge[++tot].next=head[y];
edge[tot].from=y;
edge[tot].to=x;
edge[tot].val=0;
head[y]=tot;
}
inline bool bfs()
{
queue<int>q;
memset(dep,-1,sizeof(dep));
dep[S]=1;
q.push(S);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].val;
if(dep[to]==-1&&w>0)
{
dep[to]=dep[u]+1;
q.push(to);
}
}
}
if (dep[T]==-1)
{
return 0;
}
return 1;
}
inline int dfs(int u,int low)
{
if (u==T)
{
return low;
}
int ret=low;
for (int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].val;
if (dep[to]==dep[u]+1&&w>0)
{
int flow=dfs(to,min(ret,w));
if (flow>0)
{
edge[i].val-=flow;
edge[i^1].val+=flow;
}
ret-=flow;
if (!ret)
{
break;
}
}
}
return low-ret;
}
inline void dinic()
{
while (bfs())
{
maxflow+=dfs(S,INF);
}
}
int main()
{
n=read(),m=read();
S=0,T=n+1;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read();
b[i]=read(),c[i]=read();
add(x,y,c[i]-b[i]);
in[y]+=b[i];
out[x]+=b[i];
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int dif=in[i]-out[i];
if (dif>0)
{
add(S,i,dif);
sum+=dif;
}
else
{
add(i,T,out[i]-in[i]);
}
}
// dinic();
while (bfs()) //从S到T跑最大流
{
maxflow+=dfs(S,INF);
}
if (maxflow!=sum)
{
cout<<"NO"<<endl;
return 0;
}
else
{
cout<<"YES"<<endl;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
//注意最后加的浮动流量应该是反边的流量 edge[(i<<1)|1]，正向边是剩余的流量
//反边要不要异或1取决于tot从几开始
cout<<edge[(i<<1)|1].val+b[i]<<endl;
}
}
return 0;
}
III. 有源点汇点上下界可行流
S
S
S和
T
T
T不需要守恒。将
T
T
T向
S
S
S建一条下界为零，上界为
I
N
F
INF
INF的边
流量为
t
t
t到
S
S
S的反边的流量
与上一题几乎一模一样
IV. 有源点汇点上下界最大流（[LOJ]#116. 有源汇有上下界最大流）
Solution:
在可行流的前提下满足最大流
- 按照无源点汇点上下界可行流建图
- 额外添加 t t t到 s s s的边，容量下界为 0 0 0，上界为 I N F INF INF
- 跑一遍 S S S到 T T T的最大流，得到一个可行流 f l o w 1 flow1 flow1
- 删掉 t t t到 s s s的边跑一遍 s s s到 t t t的最大流，得到 f l o w 2 flow2 flow2
- a n s = f l o w 1 + f l o w 2 ans=flow1+flow2 ans=flow1+flow2
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,S,T,cnt=0,maxflow,ans,tot=1,sum,flow,flow1,flow2;
int head[maxn],dep[maxn],vis[maxn],in[maxn],out[maxn],b[maxn],c[maxn];
inline int read()
{
int s=0,f=1;
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9')
{
if (c=='-')
{
f=-1;
}
c=getchar();
}
while (c>='0'&&c<='9')
{
s=s*10+c-48;
c=getchar();
}
return s*f;
}
struct node
{
int from,to,next;
int val;
}edge[maxn];
inline void add(int x,int y,int z)
{
edge[++tot].next=head[x];
edge[tot].from=x;
edge[tot].to=y;
edge[tot].val=z;
head[x]=tot;
edge[++tot].next=head[y];
edge[tot].from=y;
edge[tot].to=x;
edge[tot].val=0;
head[y]=tot;
}
inline bool bfs()
{
queue<int>q;
memset(dep,-1,sizeof(dep));
dep[S]=1;
q.push(S);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].val;
if(dep[to]==-1&&w>0)
{
dep[to]=dep[u]+1;
q.push(to);
}
}
}
if (dep[T]==-1)
{
return 0;
}
return 1;
}
inline int dfs(int u,int low)
{
if (u==T)
{
return low;
}
int ret=low;
for (int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].val;
if (dep[to]==dep[u]+1&&w>0)
{
int flow=dfs(to,min(ret,w));
if (flow>0)
{
edge[i].val-=flow;
edge[i^1].val+=flow;
}
ret-=flow;
if (!ret)
{
break;
}
}
}
return low-ret;
}
inline void dinic()
{
while (bfs())
{
maxflow+=dfs(S,INF);
}
}
int main()
{
n=read(),m=read(),s=read(),t=read();
tot=1;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
int x=read(),y=read();
b[i]=read(),c[i]=read();
in[y]+=b[i];
out[x]+=b[i];
add(x,y,c[i]-b[i]);
}
S=0,T=n+1; //虚拟源点和汇点
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (in[i]-out[i]>0)
{
add(S,i,in[i]-out[i]);
sum=sum+(in[i]-out[i]);
}
else
{
add(i,T,out[i]-in[i]);
}
}
add(t,s,INF); //添加1条 t到s的边，容量inf。反边也需要，容量为0
//寻找可行流
while (bfs()==true) //从S到T跑最大流
{
flow=dfs(S,INF);
maxflow+=flow;
}
if (maxflow!=sum)
{
cout<<"please go home to sleep"<<"\n";
return 0;
}
flow1=edge[tot].val; //记录“可行流”的大小，注意应该取t到s的反边的流量
edge[tot].val=edge[tot-1].val=0; //删掉 t到s的边，等效于将流量设为0
//跑一边s到t的最大流
S=s,T=t;
flow=0;
flow2=0;
while (bfs()==true) //跑最大流
{
flow=dfs(S,INF);
flow2+=flow;
}
cout<<flow1+flow2<<endl; //可行流+最大流 得到最终的最大流
return 0;
}
V. 有源点汇点上下界最小流
Solution：
- 按照有源点汇点上下界可行流建图，求出 f l o w 1 flow1 flow1
- 删掉 t t t到 s s s的边，跑一边原图 t t t到 s s s的最大流，得到 f l o w 2 flow2 flow2
- a n s = f l o w 1 − f l o w 2 ans=flow1-flow2 ans=flow1−flow2
Notice:这题链式前向星用结构体会TLE一个点！！！
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,S,T,cnt,maxflow,ans,tot=1,sum,flow,flow1,flow2;
int head[maxn],to[maxn],edge[maxn],nxt[maxn],dep[maxn],vis[maxn],in[maxn],out[maxn],b[maxn],c[maxn];
inline int read()
{
int s=0,f=1;
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9')
{
if (c=='-')
{
f=-1;
}
c=getchar();
}
while (c>='0'&&c<='9')
{
s=s*10+c-48;
c=getchar();
}
return s*f;
}
inline void add(int x,int y,int z)
{
to[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
to[++tot]=x;
edge[tot]=0;
nxt[tot]=head[y];
head[y]=tot;
}
inline bool bfs()
{
queue<int>q;
memset(dep,-1,sizeof(dep));
dep[S]=1;
q.push(S);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int To=to[i],w=edge[i];
if (dep[To]==-1&&w>0)
{
dep[To]=dep[u]+1;
q.push(To);
}
}
}
if (dep[T]==-1)
{
return 0;
}
return 1;
}
inline int dfs(int u,int low)
{
if (u==T)
{
return low;
}
int ret=low;
for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int To=to[i],w=edge[i];
if (dep[To]==dep[u]+1&&w>0)
{
int flow=dfs(To,min(ret,w));
if (flow==0)
{
dep[To]=0;
}
if (flow>0)
{
edge[i]-=flow;
edge[i^1]+=flow;
}
ret-=flow;
if (!ret)
{
break;
}
}
}
return low-ret;
}
inline void dinic()
{
while (bfs())
{
maxflow+=dfs(S,INF);
}
}
signed main()
{
n=read(),m=read(),s=read(),t=read();
tot=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read();
b[i]=read(),c[i]=read();
in[y]+=b[i];
out[x]+=b[i];
add(x,y,c[i]-b[i]);
}
S=0,T=n+1; //虚拟源点和汇点
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (in[i]-out[i]>0)
{
add(S,i,in[i]-out[i]);
sum=sum+(in[i]-out[i]);
}
else
{
add(i,T,out[i]-in[i]);
}
}
add(t,s,INF); //添加1条 t到s的边，容量inf。反边也需要，容量为0
//寻找可行流
while (bfs()==true) //从S到T跑最大流
{
flow=dfs(S,INF);
maxflow+=flow;
}
if (maxflow!=sum)
{
cout<<"please go home to sleep"<<"\n";
return 0;
}
flow1=edge[tot]; //记录“可行流”的大小，注意应该取t到s的反边的流量
edge[tot]=edge[tot-1]=0; //删掉 t到s的边，等效于将流量设为0
//跑一边s到t的最大流
S=t,T=s;
flow=0;
flow2=0;
while (bfs()==true) //跑最大流
{
flow=dfs(S,INF);
flow2+=flow;
}
cout<<flow1-flow2<<endl; //可行流+最大流 得到最终的最大流
return 0;
}
//链式前向星用struct会T!!!
/*
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=500005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,S,T,cnt=0,maxflow,ans,tot=1,sum,flow,flow1,flow2;
int head[maxn],dep[maxn],vis[maxn],in[maxn],out[maxn],b[maxn],c[maxn];
inline int read()
{
int s=0,f=1;
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9')
{
if (c=='-')
{
f=-1;
}
c=getchar();
}
while (c>='0'&&c<='9')
{
s=s*10+c-48;
c=getchar();
}
return s*f;
}
struct node
{
int from,to,next;
int val;
}edge[maxn];
inline void add(int x,int y,int z)
{
edge[++tot].next=head[x];
edge[tot].from=x;
edge[tot].to=y;
edge[tot].val=z;
head[x]=tot;
edge[++tot].next=head[y];
edge[tot].from=y;
edge[tot].to=x;
edge[tot].val=0;
head[y]=tot;
}
inline bool bfs()
{
queue<int>q;
memset(dep,-1,sizeof(dep));
dep[S]=1;
q.push(S);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].val;
if(dep[to]==-1&&w>0)
{
dep[to]=dep[u]+1;
q.push(to);
}
}
}
if (dep[T]==-1)
{
return 0;
}
return 1;
}
inline int dfs(int u,int low)
{
if (u==T)
{
return low;
}
int ret=low;
for (int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].val;
if (dep[to]==dep[u]+1&&w>0)
{
int flow=dfs(to,min(ret,w));
if (flow>0)
{
edge[i].val-=flow;
edge[i^1].val+=flow;
}
ret-=flow;
if (!ret)
{
break;
}
}
}
return low-ret;
}
inline void dinic()
{
while (bfs())
{
maxflow+=dfs(S,INF);
}
}
signed main()
{
n=read(),m=read(),s=read(),t=read();
tot=1;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
int x=read(),y=read();
b[i]=read(),c[i]=read();
in[y]+=b[i];
out[x]+=b[i];
add(x,y,c[i]-b[i]);
}
S=0,T=n+1; //虚拟源点和汇点
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (in[i]-out[i]>0)
{
add(S,i,in[i]-out[i]);
sum=sum+(in[i]-out[i]);
}
else
{
add(i,T,out[i]-in[i]);
}
}
add(t,s,INF); //添加1条 t到s的边，容量inf。反边也需要，容量为0
//寻找可行流
while (bfs()==true) //从S到T跑最大流
{
flow=dfs(S,INF);
maxflow+=flow;
}
if (maxflow!=sum)
{
cout<<"please go home to sleep"<<"\n";
return 0;
}
flow1=edge[tot].val; //记录“可行流”的大小，注意应该取t到s的反边的流量
edge[tot].val=edge[tot-1].val=0; //删掉 t到s的边，等效于将流量设为0
//跑一边s到t的最大流
S=t,T=s;
flow=0;
flow2=0;
while (bfs()==true) //跑最大流
{
flow=dfs(S,INF);
flow2+=flow;
}
cout<<flow1-flow2<<endl; //可行流+最大流 得到最终的最大流
return 0;
}
*/
VI. 无源点汇点上下界最小费用可行流
Solution:
- 按照无源点汇点上下界可行流建图，把原图中 x − > y x->y x−>y 的边，建一条容量 u p p e r − l o w e r upper-lower upper−lower，费用为 c o s t cost cost的边，其他边的费用设为 0 0 0即可
- 跑最小费用最大流即可
- 最终最小的费用 = = == ==所有边的下界流量*对应的费用的和 + + +最小费用最大流的费用
VII. 有源点汇点上下界最小费用可行流
Solution：
在VI的基础上，额外增加一条t到s的边，容量是INF，费用为0；
VIII. [LGOJ]P4043 [AHOI2014/JSOI2014]支线剧情
Solution：
- 对于一条边 x − > y x->y x−>y，容量下界设为 1 1 1，上界设为 I N F INF INF，表示每个剧情最多被覆盖一次，上不封顶；费用就是时间
- 原图中源点 s : 1 s:1 s:1，汇点 t : 0 t:0 t:0， 1 1 1到 n n n的每个点 i i i都向 t t t连一条下界为 0 0 0，上界 I N F INF INF，费用为 0 0 0的边，意思是没个点都可以终结剧情
- 然后统计每个点的 i n x in_x inx， o u t x out_x outx按照无源点汇点建图，要么是 S S S连 x x x，要么是 x x x连 T T T，费用都设为 0 0 0，容量就是 i n x in_x inx和 o u t x out_x outx之差；
- 额外的一条边 t t t到 s s s，容量 I N F INF INF，费用 0 0 0；
- 跑一边从 S S S到 T T T的最小费用最大流 c o s t 2 cost2 cost2，再统计每条边的下界流量*对应费用的和 c o s t 1 cost1 cost1； c o s t 1 + c o s t 2 cost1+cost2 cost1+cost2
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,s=1,t,S,T,tot=1,maxflow,cost1,cost2;
int head[maxn],pre[maxn],level[maxn],in[maxn],out[maxn],dis[maxn],increase[maxn];
bool vis[maxn];
struct node
{
int from,to,next,flow,cost;
}edge[maxn];
inline int read()
{
int s=0,f=1;
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9')
{
if (c=='-')
{
f=-1;
}
c=getchar();
}
while (c>='0'&&c<='9')
{
s=s*10+c-48;
c=getchar();
}
return s*f;
}
inline void add(int x,int y,int z,int f)
{
edge[++tot].next=head[x];
edge[tot].to=y;
edge[tot].flow=z;
edge[tot].cost=f;
head[x]=tot;
edge[++tot].next=head[y];
edge[tot].to=x;
edge[tot].flow=0;
edge[tot].cost=-f;
head[y]=tot;
}
inline bool spfa()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
memset(increase,0x7f,sizeof(increase));
queue<int> q;
q.push(S);
vis[S]=true;
dis[S]=0;
while (q.empty()==false)
{
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=false;
for (int i=head[x];i;i=edge[i].next)
{
int y=edge[i].to;
if (edge[i].flow>0&&dis[x]+edge[i].cost<dis[y])
{
dis[y]=dis[x]+edge[i].cost;
increase[y]=min(increase[x],edge[i].flow);
pre[y]=i;
if (vis[y]==false)
{
q.push(y);
vis[y]=true;
}
}
}
}
return dis[T]<0x7f7f7f7f;
}
inline void update()
{
int cur=T;
while (cur!=S)
{
int last=pre[cur];
edge[last].flow-=increase[T];
edge[last^1].flow+=increase[T];
cur=edge[last^1].to;
}
maxflow+=increase[T];
cost2+=dis[T]*increase[T];
return ;
}
int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int k=read();
if (i!=1)
{
add(i,t,inf,0);
}
for (int j=1;j<=k;j++)
{
int nxt=read(),tim=read();
in[nxt]+=1;
out[i]+=1;
cost1=cost1+1*tim;
add(i,nxt,inf-1,tim);
}
}
S=n+1,T=n+2;
for (int i=0;i<=n;i++)
{
if (in[i]-out[i]>0)
{
add(S,i,in[i]-out[i],0);
}
else
{
add(i,T,out[i]-in[i],0);
}
}
add(t,s,inf,0);
while (spfa()==true)
{
update();
}
cout<<cost1+cost2<<endl;
return 0;
}
/*
6
2 2 1 3 2
2 4 3 5 4
2 5 5 6 6
0
0
0
*/
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