【题解】CF570E：Pig and Palindromes

最新推荐文章于 2019-09-13 11:18:03 发布

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本文探讨了在解决特定问题时，如何通过去除冗余状态和优化时间复杂度来改进动态规划算法。具体展示了如何将五维状态空间压缩为三维，以及通过滚动数组减少空间需求的方法。

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DP
显然的状态， $d p [s t p] [x 1] [y 1] [x 2] [y 2]$ 表示走了 $s t p$ 步，从左上角走到了 $(x 1, y 1)$ ，从右下角走到了 $(x 2, y 2)$ ，的答案
然后可以大力枚举+四个方向大力转移搞定

然后发现时空复杂度非常优秀，双双爆炸
怎么办呢

发现知道了 $s t p, x 1, x 2$ 时， $y 1, y 2$ 可以算出来， $y 1, y 2$ 算是状态的冗余，直接去掉
$x 1 - 1 + y 1 - 1 = s t p - - - > y 1 = s t p - x 1 + 2$
$n - x 2 + m - y 2 = s t p - - - > y 2 = n + m - x 2 - s t p$
三次方的时间复杂度过得去，空间上可以继续优化
当前步只与上一步有关，所以第一维滚动掉

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 510
#define qy 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
char mp[maxn][maxn];
LL n, m, dp[2][maxn][maxn];

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", mp[i] + 1);
	if (mp[1][1] != mp[n][m]){ puts("0"); return 0; }
	int stp = (n + m - 2) >> 1;
	dp[0][1][n] = 1;
	for (int i = 1; i <= stp; ++i){
		int now = i & 1, pre = now ^ 1;
		memset(dp[now], 0, sizeof(dp[now]));
		for (int x1 = 1; x1 <= i + 1; ++x1)
			for (int x2 = n; x2 >= n - i; --x2){
				int y1 = i - x1 + 2, y2 = n + m - x2 - i;
				if (x1 > x2 || y1 > y2) continue;
				if (mp[x1][y1] != mp[x2][y2]) continue;
				dp[now][x1][x2] = ((dp[pre][x1][x2] + dp[pre][x1 - 1][x2 + 1]) % qy + (dp[pre][x1 - 1][x2] + dp[pre][x1][x2 + 1]) % qy) % qy;
			}
	}
	LL ans = 0;
	if ((n + m) & 1){
		for (int i = 1; i <= n; ++i) (ans += (dp[stp & 1][i][i] + dp[stp & 1][i][i + 1]) % qy) %= qy;
		printf("%lld\n", ans);
	} else{
		for (int i = 1; i <= n; ++i) (ans += dp[stp & 1][i][i]) %= qy;
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}