【题解】LuoGu1365：WJMZBMR打osu! / Easy

最新推荐文章于 2022-07-10 13:44:57 发布

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#题解 #LuoGu #DP #期望

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博客围绕一道期望DP题展开，定义f[i]为第i位时期望得分，g[i]为第i位时o期望长度。针对当前字符s[i]的不同情况（'o'、'x'、'?'）进行分类讨论，得出相应的递推公式，还指出f[i]、g[i]只与f[i - 1]、g[i - 1]有关可滚动处理。

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这是一道期望dp题
令 $f [i] 表示第 i 位时期望得分, g [i] 表示第 i 位时 o 期望长度$
对于当前字符 $s [i]$ ，分类讨论：

$s [i] =^{'} o^{'} : g [i] = g [i - 1] + 1$ , $f[i]=g[i]^2=(g[i-1]+1)^2=g[i-1]^2+2g[i-1]+1=f[i-1]+2g[i-1]+1$
$s [i] =^{'} x^{'} : g [i] = 0, f [i] = f [i - 1]$
$s[i]='?'(把上面两个方程合并):g[i]=\frac{0}{2}+\frac{g[i-1]+1}{2}=\frac{g[i-1]+1}{2},f[i]=\frac{f[i-1]}{2}+\frac{f[i-1]+2g[i-1]+1}{2}=f[i-1]+g[i-1]+0.5$

再发现： $f [i], g [i] 只与 f [i - 1], g [i - 1] 有关，顺手滚动掉$
Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double f[2], g[2];
int n;

int main(){
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		int p = i & 1;
		char c = getchar();
		for (; c != 'x' && c != 'o' && c != '?'; c = getchar());
		if (c == 'o') g[p] = g[p ^ 1] + 1, f[p] = f[p ^ 1] + 2 * g[p ^ 1] + 1; else
		if (c == 'x') g[p] = 0, f[p] = f[p ^ 1]; else g[p] = (g[p ^ 1] + 1) / 2, f[p] = f[p ^ 1] + g[p ^ 1] + 0.5;
	}
	printf("%.4f\n", f[n & 1]);
	return 0;
}