【题解】LuoGu5011：水の造题

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题面易懂
首先，感到无从下手，只会20%的$O(k^n)$暴力
然后苦(kan)思(kan)冥(ti)想(jie)发现可以直接推公式
分成两种情况讨论

• 对于每个位置，可以做$k$种动作，所以概率为$\frac{1}{k}$，获得的威力收益是$val[i]$，所以期望是${\sum }_{i=1}^k\frac{val[i]}{k}=\frac{{\sum }_{i=1}^{k}val[i]}{k}$，那么总共有n个位置，总的期望是$\frac{n\ast {\sum }_{i=1}^{k}val[i]}{k}$
• 对于每两个相邻位置，额外可能会有连招的情况出现，出现的概率为$\frac{1}{k^2}$，获得威力$val[i]+val[i+1]$，当然$val[k]与val[1]也是可以的$，那么期望是${\sum }_{i=1}^k\frac{val[i]+val[next(i)]}{k^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^{k}val[i]+val[nxt(i)]}{k^2}$，总共有$(n-1)$组相邻位置，总的期望是$\frac{(n-1)\ast {\sum }_{i=1}^{k}val[i]+val[nxt(i)]}{k^2}$

两个式子加起来就是答案~~
化简一下
记$sum={\sum }_{i=1}^{k}val[i]$
那么$\frac{n\ast {\sum }_{i=1}^{k}val[i]}{k}=\frac{n\ast sum}{k}$
$\frac{(n-1)\ast {\sum }_{i=1}^{k}val[i]+val[nxt(i)]}{k^2}=\frac{2sum\ast (n-1)}{k^2}$
加起来：
$\frac{n\ast sum}{k}+\frac{2sum\ast (n-1)}{k^2}=\frac{sum\ast n\ast k+2sum\ast (n-1)}{k^2}=\frac{sum(nk+2n-2)}{k^2}$

直接一开始把sum求出来，n再大也没关系，一边读入一边取模即可
变成一道结论题，开心

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define qy 19491001
#define LL long long
using namespace std;

inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
	return s * w;
}

LL ksm(LL n, int k){
	if (!k) return 1;
	LL sum = ksm(n, k >> 1);
	sum = sum * sum % qy;
	if (k & 1) sum = sum * n % qy;
	return sum;
}

int main(){
	LL n = 0;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar());
	for (; isdigit(c); c = getchar()) n = ((n << 1) + (n << 3) + (c ^ 48)) % qy;
	LL k = read(), sum = 0;
	for (int i = 1; i <= k; ++i){
		int x = read();
		(sum += x) %= qy;
	}
	LL nk = n * k % qy;
	printf("%lld\n", sum * ((nk + 2 * n - 2) % qy + qy) % qy * ksm(k * k % qy, qy - 2) % qy);
	return 0;
}