斯坦福机器学习2:监督学习应用

斯坦福机器学习第二讲学习笔记及MATLAB实现

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第一部分–笔记

一：内容提纲
1：线性回归
2：梯度下降
3：正规方程组
二：学习内容
学习第一个监督学习算法，同时也属于线性回归问题范畴，教学引入例子是房价预测问题。本节课程提供了线性回归问题两种求解方法—梯度下降和正规方程组法。
三：监督学习的内容和步骤

如上图，首先确定h的形式（如线性回归问题中假设h是特征的线性函数）；然后设计学习算法，该算法根据训练样本集求解h中参数，确定h最终形式；最后基于h，可对任意输入变量x进行预测：y=h(x)。
梯度下降法和正规方程法是线性回归问题中求解h的两种算法。
四：梯度下降法
核心思想：重复沿最陡方向减小成本函数J()，直到算法收敛。
数学表示：依照如下表达式重复更新参数直到算法收敛

算法收敛的判断：θ变化不大；J(θ)变化不大；J(θ)取最小值
备注：α的合理取值关乎算法成败，若取值过小，则迭代次数过多；若取值过大，则可能会跳过最优解，使θ、J(θ)以及整个算法无法达到收敛状态。实验结果表面，因根据训练样本以及算法运行情况调整α，寻找能使算法收敛的较大α

五：正规方程法
核心思想：求解矩阵方程∇_θ J(θ)=0，则h(x)=θ^T x
数学表示：

第二部分—代码

一:梯度下降法

1：算法实现函数。

% Function: 梯度下降法求解线性回归模型
% Create Time:2015/12/14
% Parameter：
%   tx--训练样本输入
%   ty--训练样本输出
%   a --步长
%   x --输入变量
% Steps：
%   1：沿梯度方向更新参数theta
%   2：计算此参数下的评价函数Jtheta
%   3: 判断算法是否收敛。若是，停止迭代。算法收敛时，theta,J收敛。

function y = laLMS(tx,ty,a,x)
[m,n] = size(tx);%m--样本数，n--特征数
tx0 = ones(m,1);
tx = [tx0 tx];

theta = zeros(1,n+1)';

y = 0;
for k = 1:1:80
%   1：沿梯度方向更新参数theta
    oldTheta = theta;
    for j = 1:1:n+1
        dstep = 0;
        for i = 1:1:m
            dstep = dstep + (h_func(oldTheta',tx(i,:)) - ty(i))*tx(i,j);
        end
        theta(j) = theta(j) - a*dstep;        
    end
%   2：计算此参数下的评价函数Jtheta
    J = J_func(tx,ty,theta);
    Jold = J_func(tx,ty,oldTheta);
    if abs(Jold-J)/Jold<0.0001
      theta=oldTheta
      y = h_func(theta,[1 x]);
      break;            
    end
end

end

2：两个相关函数。

function h = h_func(theta,tx)
% 参数：tx--一个训练样本输入
%       h --该训练样本输入预测值

h =dot(theta',tx);
end

function j = J_func(tx,ty,theta)
j = 0;
m = size(tx,1);

for i = 1:1:m
    j = j + (h_func(theta',tx(i,:))- ty(i))^2;
end
j = j/2;
end

3：测试函数。

% Function: 测试线性回归问题两种解法
% Create Time:2015/12/14
% Parameter：
clc;
clear;
% 训练样本集一：
tx = [1 40 ;2 40 ;1 50 ;2 50 ;2 80 ;2 82 ;3 83 ;2 88 ;3 120 ;2 120 ];
ty = [805;807;1005;1007;1608;1646;1670;1769;2411;2407];
 x = [2 110] ;
% 训练样本集二：
% tx = [1;2;3;4]; 
% ty = [1.1;2.2;2.7;3.8];  
%  x = 1.5 ;
 y1= laLMS(tx,ty,0.00001,x);%第一组训练样本a=0.00001,第二组训练样本a=0.01

二:正规方程法
1：算法实现函数。

% Function: 正规方程法求解线性回归模型
% Create Time:2015/12/14
% Parameter：
%   tx--训练样本输入
%   ty--训练样本输出
%   x --输入变量
% Steps：
%   1：沿梯度方向更新参数theta
%   2：计算此参数下的评价函数Jtheta
%   3: 判断该函数是否为局部最小值。若是，停止迭代

function y = laNormalEquations(tx,ty,x)
[m,n] = size(tx);%m--样本数，n--特征数
tx0 = ones(m,1);
X = [tx0 tx];
Y = ty;

theta = pinv(X'*X)*X'*Y
size(theta)
size([1 x])
y = dot(theta',[1 x]);

end

2：测试函数。

% Function: 测试线性回归问题两种解法
% Create Time:2015/12/14
% Parameter：
clc;
clear;
% 训练样本集一：
tx = [1 40 ;2 40 ;1 50 ;2 50 ;2 80 ;2 82 ;3 83 ;2 88 ;3 120 ;2 120 ];
ty = [805;807;1005;1007;1608;1646;1670;1769;2411;2407];
 x = [2 110] ;
% 训练样本集二：
% tx = [1;2;3;4]; 
% ty = [1.1;2.2;2.7;3.8];  
%  x = 1.5 ;
 y2=  laNormalEquations(tx,ty,x);