基于巴特沃斯的数字低通滤波器设计

一、巴特沃斯滤波器幅频特性

巴特沃斯低通滤波器的幅度二次方函数如下：

式中，n为阶数，为滤波器的截止频率，单位是rad/s；当输入信号的频率时，有， 输出与输入的幅值比即为，也即-3db，我们通常说的低通滤波器的截止频率，即幅值衰减为0.707时的频率；不同阶数的幅频特性曲线如下：

从图上可以看出巴特沃斯滤波器具有以下几个特点：

1、幅值函数是单调递减的，在处，具有最大的幅值
2、在处，，即比下降了3dB；
3、当趋于无穷时，幅值比趋近于0.
4、当阶数n增加时，通带幅频特性变平，阻带幅频特性衰减越快，过渡带越窄，整个幅频特性趋于理想低通滤波特性；

在悬架项目中，需要用到低通滤波器的场景是在对传感器信号的处理上，过滤掉高频噪声。选择越高的阶数，可以获得更好的过滤特性，但是同时也会增加单片机的运算量；正常情况下，选择一阶或者二阶便可满足需求。

二、巴特沃斯滤波器的系统函数

巴特沃斯滤波器各阶归一化的分母多项式如下表，分子是1：

其中，，设计巴特沃斯低通滤波器时，直接代入即可

三、一阶低通滤波器设计与仿真

传递函数：

1、使用双线性变换得到数字滤波器

使用双线性变换，替换s，可以推导得到最后的递推式，根据递推式可以搭建simulink模型，其中Wc和T都是常数，分别是截止频率和运算周期。

在simulink中，使用阶跃输入，对比连续传递函数与离散后模型的运行差异；

基本上没什么差异，表明离散及模型搭建是正确的。

2、数据仿真

导入实车的车身加速度数据，在Simulink中对比滤波前后数据的差异，如下图所示：

我们截止频率设置在20hz，在图中红框处，滤波处理后的数据处理痕迹比较明显，该处也正好是车行驶在高频激励的恶劣路面上，车身高频振动。

我们对加速度信号做下频率分析，看下滤波前后频率图有什么差异。

远离截止频率的低频处，原始信号的幅值基本上没有衰减；在10hz以后，就可以看到幅值有在衰减，这是因为一阶滤波器过渡带很宽的原因。

我们还可以再拿仿真数据估计下传递函数，来看看与连续传递函数曲线的差异。
 

从上图可以看到，双线性变换离散后的滤波器，在截止频率位置处，也加剧了衰减程度，实际上设置20hz的截止频率，在产品应用上，截止频率差不多提前到了18hz左右。

再更直观的对比一下，我们跑一个20hz的正弦信号，如下图所示，可以看到截止频率处离散后的衰减更严重些，相位延迟方面倒是差不多。

四、二阶低通滤波器设计与仿真 

传递函数：

1、使用双线性变换得到数字滤波器

 推导过程如下：

从这里可以开始搭建simulink模型，这将是一个很庞大的过程，如果实在懒不想一个模块一个模块搭，使用Discrete Transfer Fcn 将离散的传递函数敲进去仿真用用也是可以的，如果是要生成代码，建议还是用基础模块搭一下的好,我这边按照最后这个公式搭建好了模型：

2、数据仿真

导入加速度数据，在simulink示波器中查看过滤后结果；与一阶的相比，保留的成分相对多了一些。

 

对滤波前后结果做下频率分析：

估计的传递函数曲线：
 

五、一阶和二阶对比

将频率图合并在一起

 

从上面两图可以看出，对低于截止频率点的成分的过滤，二阶保留的更多；在截止频率点后，二阶的过滤的更干净。

滤波对信号会产生延时，在相位延时方面，可以通过对比伯德图直接得到结果：

 正常在悬架垂向信号的过滤上，我们一般选用二阶低通滤波器来过滤杂波。

六、关于脚本和模型

关键推导过程和模型已经截图给出，如果还有需要源码的老板，还是在淘宝店 "极简车辆控制"中可获取，感谢各位老板的关注。