HDU 5728 PowMod（数论，欧拉函数的各种性质）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MikeZHW/article/details/51969072

该博客介绍了如何解决HDU 5728 PowMod问题，重点在于数论中的欧拉函数及其性质。通过分析n无平方因子的情况，利用欧拉函数的积性来简化计算，对每个质因数的贡献进行统计以得出答案。文章包含题意解析、问题分析以及相应的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[题意]

k = \sum i = 1 m ϕ (i * n) % 1000000007

$k \ = \ \sum_{i=1}^m\phi(i*n) \% 1000000007 \\$
其中n为无平方因子的数，求

a n s = k k k k . . . k % p

$ans \ = \ k^{k^{k^{k^{...^{k}}}}} \% p \\$

[分析]

n无平方因子说明n可以表示为 $\ n \ = p_1 * p_2 * ... * p_l \ ( p_i \neq p_j )$
欧拉函数为积性函数，有 $\phi(n*m) \ = \ \phi(n) * \phi(m) \ \ ( gcd(n,m) = 1 )$
所以可以对每个 $p_i$ 统计贡献即可算出 $k$

设 \sum i = 1 m ϕ (i * n) = f (n, m) 由 \sum i = 1 m ϕ (i * n) = ϕ (p i) * \sum i = 1 m ϕ (i * n p i) + \sum i = 1 m p i ϕ (i * n) 得 f (n, m) = ϕ (p i) * f (n p i, m) + f (n, m p i)

$设 \ \sum_{i=1}^m\phi(i*n) = f(n,m) \\ 由 \ \sum_{i=1}^m\phi(i*n) = \phi(p_i)*\sum_{i=1}^m\phi(i*\frac{n}{p_i}) + \sum_{i=1}^{\frac{m}{p_i}}\phi(i*n) \\ 得 \ f(n,m) = \phi(p_i) * f(\frac{n}{p_i},m) + f(n,\frac{m}{p_i}) \\$
由上式算出k后，再由公式

ab%p=ab%ϕ(p)+ϕ(p)%p $\ a^{b}\%p = a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}\%p$ 递归的计算ans，递归出口为

ϕ(p)=1 $\phi(p)=1$

[代码]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int N = 1e7 + 5 ;
const int mod = 1e9 + 7 ;
typedef long long LL ;

int T , n , m , p ;
int f[N] , s[N] ;

void init()
{
    f[1] = 1 ;
    for( int i = 2 ; i < N ; i++ )
    {
        if( f[i] ) continue ;
        f[i] = i-1 ;
        for( int j = i+i ; j < N ; j += i )
        {
            if( !f[j] ) f[j] = j ;
            f[j] = f[j]/i*(i-1) ;
        }
    }
    for( int i = 1 ; i < N ; i++ )
        s[i] = ( s[i-1] + f[i] ) % mod ;
}

LL get( int n , int m )
{
    if( m < 1 ) return 0 ;
    if( m == 1 ) return f[n] ;
    if( n == 1 ) return s[m] ;
    if( f[n] == n-1 ) return ( get(1,m) * f[n] % mod + get(n,m/n) ) % mod ;
    for( int i = 2 ; i*i <= n ; i++ )
    {
        if( n%i ) continue ;
        return ( f[i] * get(n/i,m) % mod + get(n,m/i) ) % mod ;
    }
}

LL powMod( LL a , LL b , LL p )
{
    LL r = 1 ;
    a %= p ;
    while( b )
    {
        if( b&1 ) r = r*a%p ;
        b >>= 1 ;
        a = a*a%p ;
    }
    return r ;
}

LL gao( LL k , LL p )
{
    if( p == 2 ) return k&1 ;
    return powMod(k,gao(k,f[p])+f[p],p) ;
}

int main()
{
    init() ;
    while( ~scanf( "%d%d%d" , &n , &m , &p ) )
    {
        LL k = get(n,m) ;
        printf( "%I64d\n" , gao(k,p) ) ;
    }
    return 0 ;
}