数据结构与算法（五）树和二叉树

一、树的定义及相关术语
　　树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树当中：有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树（SubTree）。
　　对于树的定义还需要需要强调的是：n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，不要和现实生活中的大树混合在一起，现实生活中的树有很多的根须，那是真实的树，数据结构中的树只能有一个根结点；m>0时，子树的个数没有限制，但是它们一定是互不相交的。
　　
　　
树的结点分类：
　　树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第n层，则其子树的根就在第n+1层；其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度，当前树的深度为4。如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
　　
　　
　　
树的结点间的关系：
　　结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。在图中，对于H来说，D、B、A都是它的祖先，反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙，B的子孙有D、G、H、I。
　　
二、树的存储结构
　　双亲表示法：我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置；也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里；其中data是数据域，存储结点的数据信息；而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。
　　
　　孩子表示法：具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放一个一维数组中。为此，设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，其中child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标，next是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针；另一个是表头数组的表头结点，其中data是数据域，存储某结点的数据信息，firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。
　　
　　孩子兄弟表示法：任意一颗树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的；因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟；其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
　　

三、二叉树定义与特点
　　二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
　　二叉树的特点有：
　　　　1）每个节点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点，注意不是只有两颗子
　　　　　树，而是最多有，没有子树或者有一棵子树都是可以的；
　　　　2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒；
　　　　3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树；
　　
　　
　　
　　二叉树具有五种基本形态：
　　　　1）空二叉树；
　　　　2）只有一个根结点；
　　　　3）根结点只有左子树
　　　　4）根结点只有右子树；
　　　　5）根结点既有左子树又有右子树；
　　　　

四、特殊的二叉树
　　斜树：顾名思义，斜树一定是要斜的，但是往哪里斜还是有讲究的；所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树；所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树，这两者统称为斜树；斜树有很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。
　　
　　满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树就称为满二叉树，因为单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这样就做到了整棵树的平衡；
　　满二叉树的特点：
　　　　1）叶子只能出现在最下一层，出现在其他层就不可能达成平衡；
　　　　2）非叶子结点的度一定是2，否则就是“去胳膊少腿”了；
　　　　3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多；
　　　　
　　完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序进行编号，如果编号为i（i<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树；
　　完全二叉树的特点：
　　　　1）叶子结点只能出现在最下两层；
　　　　2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
　　　　3）倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置；
　　　　4）如果结点度为1，则该结点只有左子树，即不存在只有右子树的情况；
　　　　5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小；
　　　

五、二叉树的存储结构
　　二叉树的顺序存储结构：二叉树的顺序存储结构就是用一堆数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子关系，左右兄弟的关系等。
　　
　　二叉链表：二叉树的顺序存储结构虽然简单，但是适用性并不强，我们就要考虑链式存储结构，二叉树的每个结点最多有两个孩子，所以为它设计了一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表；其中data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。
　　

六、二叉树的遍历
　　二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次；
　　前序遍历：规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树；
　　中序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树；
　　后序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点；
　　层序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐个访问；